[行列解析2.4.p17]

2.4.問題17

行列 \( A, B \in \mathbb{M}_n \) とし、\( A, B \) によって生成される部分代数 \( \mathcal{A}(A,B) \) を考える（(1.3.P36)参照）。

これは \( \mathbb{M}_n \) の部分空間であり、ゆえに次が成り立つ：

\dim \mathcal{A}(A,B) \leq n^2

\( n=2 \), \( A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \), \( B = A^T \) の場合に \( \dim \mathcal{A}(A,B) = n^2 \) となることを示せ。

また、カイリー–ハミルトンの定理を用いて、任意の \( A \in \mathbb{M}_n \) について \( \dim \mathcal{A}(A, I) \leq n \) であることを示せ。

さらに、Gerstenhaber の定理により、\( A, B \) が交換するときは \( \dim \mathcal{A}(A,B) \leq n \) であることを示せ。