[行列解析2.4.p13]シルベスター方程式の可解性と線形変換のスペクトル

2.4.P13

2.4.問題13
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2.4.問題13

線形行列方程式 \( A X - X B = C \) に関するシルベスターの定理(2.4.4.1) の別証明の詳細を示せ。

行列 \( A \in \mathbb{M}_n \), \( B \in \mathbb{M}_m \) は共通の固有値を持たないとする。

線形変換 \( T_1, T_2 : \mathbb{M}_{n,m} \to \mathbb{M}_{n,m} \) をそれぞれ

T_1(X) = A X \\ T_2(X) = X B

で定義する。

\( T_1, T_2 \) は可換であり、(2.4.8.1) から \( T = T_1 - T_2 \) の固有値は \( T_1 \) と \( T_2 \) の固有値の差であることを導け。

\( \lambda \) が \( T_1 \) の固有値であることは、\( AX - \lambda X = 0 \) となる非零行列 \( X \) が存在することと同値であり、それは \( \lambda \) が \( A \) の固有値であることと同値である（\( X \) の各非零列は対応する固有ベクトル）。

したがって \( T_1 \) と \( A \) は同じスペクトルを持ち、同様に \( T_2 \) と \( B \) も同じスペクトルを持つ。

ゆえに、\( A \) と \( B \) が共通の固有値を持たなければ \( T \) は正則である。

さらに、\( \lambda \) に対応する \( A \) の固有ベクトル \( x \) と、\( B \) の固有値 \( \mu \) に対応する左固有ベクトル \( y \) に対し、\( X = x y^* \) とすると

T(X) = ( \lambda - \mu ) X

が成り立ち、\( T \) のスペクトルは \( A \) と \( B \) の固有値の差の全体集合であることがわかる。

ヒント

行列方程式 \( AX - XB = C \) は、行列空間 \( \mathbb{M}_{n,m} \) 上の線形変換 \( T(X) = AX - XB \) による一次方程式 \( T(X) = C \) と見なすことができる。

この変換 \( T \) が正則（逆変換を持つ）であるための必要十分条件は、\( T \) の固有値がすべて \( 0 \) でないことである。

\( T \) を \( X \) の左から \( A \) を掛ける写像 \( T_1 \) と、右から \( B \) を掛ける写像 \( T_2 \) の差として捉え、可換な線形変換の固有値に関する性質を適用することで、\( T \) の固有値が \( A \) の固有値と \( B \) の固有値の差で表されることを導く。

解答例

行列空間 \( \mathbb{M}_{n,m} \) 上の線形変換 \( T_1(X) = AX \) および \( T_2(X) = XB \) を定義する。これらは次のように可換である。

(T_1 \circ T_2)(X) = T_1(XB) = AXB \\ (T_2 \circ T_1)(X) = T_2(AX) = AXB

\( T_1 \) と \( T_2 \) が可換であるため、定理(2.4.8.1) により、\( T = T_1 - T_2 \) の固有値は \( T_1 \) の固有値 \( \lambda_i \) と \( T_2 \) の固有値 \( \mu_j \) の組み合わせによる差 \( \lambda_i - \mu_j \) として与えられる。

ここで \( T_1 \) のスペクトルを調べる。\( T_1(X) = \lambda X \) すなわち \( AX = \lambda X \) を満たす非零行列 \( X \) が存在することは、\( X \) の少なくとも一つの非零列ベクトル \( x \) に対して \( Ax = \lambda x \) が成立することと同値である。

したがって、\( T_1 \) の固有値は行列 \( A \) の固有値そのものである。

同様に、\( T_2(X) = \mu X \) すなわち \( XB = \mu X \) は、\( X \) の各行が \( B^T \) の固有値 \( \mu \) （すなわち \( B \) の固有値 \( \mu \)）に対応する左固有ベクトルであることに相当し、\( T_2 \) の固有値は \( B \) の固有値と一致する。

\( T \) の固有値の集合（スペクトル）を \( \sigma(T) \)、\( A, B \) のスペクトルをそれぞれ \( \sigma(A), \sigma(B) \) とすると、次が成り立つ。

\sigma(T) = \{ \lambda - \mu \mid \lambda \in \sigma(A), \mu \in \sigma(B) \}

具体的に、\( Ax = \lambda x \) を満たす固有ベクトル \( x \) と、\( y^* B = \mu y^* \) を満たす左固有ベクトル \( y^* \) を選ぶ。

このときランク 1 の行列 \( X = x y^* \) を考えると、

T(x y^*) = A(x y^*) - (x y^*) B = (Ax) y^* - x (y^* B) = (\lambda x) y^* - x (\mu y^*) = (\lambda - \mu) x y^*

となり、\( \lambda - \mu \) が \( T \) の固有値であることが確認できる。

仮定より \( A \) と \( B \) は共通の固有値を持たないため、任意の \( \lambda \in \sigma(A) \) と \( \mu \in \sigma(B) \) に対して \( \lambda - \mu \neq 0 \) である。したがって \( T \) の固有値はすべて非零であり、線形変換 \( T \) は正則となる。これにより、任意の \( C \) に対して \( T(X) = C \) は唯一の解 \( X \) を持つ。