2.4.問題11
2.4.P11
行列 \( A, B \in \mathbb{M}_n \) とそれらの交換子 \( C = AB - BA \) を考える。
- \(\mathrm{tr} C = 0\) を示せ。
- 行列
A = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad
B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}
のとき、交換子は必ずしも零行列的でない（すなわち非零固有値を持つことがある）が、その固有値の和は必ずゼロであることを示せ。
- 交換子の階数が1以下のとき、零行列的であることを示せ。
- 交換子の階数が0のとき、\( A, B \) は同時にユニタリ上三角化可能であることを説明せよ。
- 交換子の階数が1のとき、Laffeyの定理により \( A, B \) は相似変換により同時に上三角化可能であることを示せ。以下は Laffey の定理の証明の概略である。
\( A \) を特異行列（必要に応じて \( A - \lambda I \) に置き換える）と仮定する。もし \( A \) の核空間が \( B \)-不変なら、それは共通の非自明な不変部分空間となり、\( A, B \) は (1.3.17) の形式のブロック行列に同時に相似変換可能である。
もしそうでなければ、ある非零ベクトル \( x \) が存在し \( A x = 0 \) かつ \( A B x \neq 0 \) となる。すると \( C x = A B x \) なので、非零ベクトル \( z \) が存在して \( C = A B x z^T \) と書ける。任意のベクトル \( y \) に対し、\((z^T y) A B x = C y = A B y - B A y\) であり、これより \( B A y = A B (y - (z^T y) x) \)、したがって範囲について \( \mathrm{range}(B A) \subset \mathrm{range}(A B) \subset \mathrm{range}(A) \) となり、範囲 \(\mathrm{range}(A)\) は \( B \)-不変である。
ゆえに \( A, B \) は (1.3.17) 形式のブロック行列に同時に相似変換可能である。
ここで
A = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ 0 & A_{22} \end{pmatrix}, \quad
B = \begin{pmatrix} B_{11} & B_{12} \\ 0 & B_{22} \end{pmatrix}
であり、\( A_{11}, B_{11} \in \mathbb{M}_k \), \( 1 \le k < n \) とする。このとき交換子は
C = \begin{pmatrix} A_{11} B_{11} - B_{11} A_{11} & X \\ 0 & A_{22} B_{22} - B_{22} A_{22} \end{pmatrix}
であり、階数は1である。交換子の対角ブロックの少なくとも一方が零行列なので (2.3.3) を適用できる。
もしある対角ブロックの階数が1で、そのサイズが1より大きければ同様の縮約を繰り返す。
1×1の対角ブロックは階数1を持たない。
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