2.4 注記および参考文献
注記および参考文献
同時三角化に関する詳細な解説は Radjavi と P. Rosenthal (2000) を参照してください。
定理 2.4.8.7 およびその一般化は、N. McCoy によって証明されました（On the characteristic roots of matric polynomials, Bull. Amer. Math. Soc. 42 (1936) 592–600）。
我々の (2.4.8.7) の証明は M. P. Drazin, J.W. Dungey, K.W. Gruenberg の論文（Some theorems on commutative matrices, J. Lond. Math. Soc. 26 (1951) 221–228）を基にしており、ここには一般の場合 \( m \geq 2 \) の (2.4.8.10) の証明も含まれています。
固有値と線形結合の関係は T. Motzkin と O. Taussky の論文（Pairs of matrices with property L, Trans. Amer. Math. Soc. 73 (1952) 108–114）で議論されています。
\( A, B \in \mathbb{M}_n \) の組で、すべての \( a,b \in \mathbb{C} \) に対し
\sigma(aA + bB) = \{ a \alpha_j + b \beta_j : j = 1, \ldots, n \}
を満たすものは「性質 L」を持つと言われます。
また条件 (2.4.8.7(c)) は「性質 P」と呼ばれます。
性質 P は \( n=2,3,\ldots \) のすべてに対して性質 L を含意しますが、性質 L が性質 P を含意するのは \( n=2 \) のみです。
性質 L は完全には理解されていませんが、正規行列の組に対しては、性質 L を持つのは互いに可換である場合に限ることが知られています（N. A. Wiegmann, A note on pairs of normal matrices with property L, Proc. Amer. Math. Soc. 4 (1953) 35–36）。
（2.4.P10）における驚くべき近似版は次のとおりです。
可逆行列 \( A, B \in \mathbb{M}_n \) が同じ特性多項式（したがって同じ固有値）を持つことと、すべての \( k = \pm 1, \pm 2, \ldots \) に対して
| \operatorname{tr} A^k - \operatorname{tr} B^k | \leq 1
が成り立つことは同値である、というものです（参照：Marcoux, Mastnak, Radjavi 論文、(2.2) の最後に記載）。
ヤコブソンの補題 (2.4.P12) は N. Jacobson の論文（Rational methods in the theory of Lie algebras, Ann. of Math. (2) 36 (1935) 875–881）の補題 2 です。
準可換性の概念 (2.4.P12) は量子力学に現れます。
位置演算子 \( x \) と運動量演算子 \( p_x \) （有限次元ではない線形演算子；参照 (2.4.P32)）は、恒等式
x p_x - p_x x = i \hbar I
を満たします。この恒等式は位置と運動量のハイゼンベルクの不確定性原理を含意し、\( x \) と \( p_x \) がその交換子と可換であることを保証します。(2.4.P12(g)) の例は Gérald Bourgeois によるものです。
(2.4.P11 および 2.4.P12) で言及されている Laffey の定理は以下の論文で証明されています：
- T. J. Laffey, "Simultaneous triangularization of a pair of matrices – low rank cases and the nonderogatory case," Linear Multilinear Algebra 6 (1978) 269–306
- T. J. Laffey, "Simultaneous quasidiagonalization of a pair of 3 × 3 complex matrices," Rev. Roumaine Math. Pures Appl. 23 (1978) 1047–1052
行列 (2.4.20) は異なる固有値を必要とする符号パターン行列の例です。この興味深い性質の議論については、Z. Li と L. Harris による論文（Sign patterns that require all distinct eigenvalues, JP J. Algebra Number Theory Appl. 2 (2002) 161–179）を参照してください。この論文にはこの性質を持つすべての不可約な 3×3 符号パターン行列の一覧が含まれています。
(2.4.P34) で要求される明示的な計算は A. Cayley による論文（A memoir on the theory of matrices, Philos. Trans. R. Soc. London 148 (1858) 17–37, p.23）に掲載されています。p.24 では Cayley が 3×3 の場合も検証したと述べていますが、一般次数の行列に対する正式な証明は「必要と考えなかった」としています。
1878 年に F. G. Frobenius は、すべての複素正方行列が自身の特性方程式を満たすことを厳密に証明しましたが、その手法は (2.4.3.2) の我々の証明とは大きく異なります。
Frobenius は最初に行列の最小多項式という新概念（自身の発明；参照 (3.3)）を定義し、これが特性多項式を割り切ることを示しました（Ferdinand Georg Frobenius: Gesammelte Abhandlungen, Vol. I, J-P. Serre 編集, Springer, Berlin, 1968, p.355）。
ケイリー・ハミルトンの定理の証明の概要（2.4.P3）は A. Buchheim の論文（Mathematical notes, Messenger Math. 13 (1884) 62–66）から取られています。
コメント