2.3.P9
2.3.問題9
\( A \in M_n \) の固有値を \( \lambda, \lambda_2, \dots, \lambda_n \) とし、\( Ax = \lambda x \) を満たす非零ベクトル \( x \)、
任意の \( y \in \mathbb{C}^n \)、およびスカラー \( \alpha \in \mathbb{C} \) が与えられているとする。
次の補題の詳細を示せ：
\tilde{A} =
\begin{bmatrix}
\alpha & y^* \\
x & A
\end{bmatrix}
\in M_{n+1}
このとき、\( \tilde{A} \) の固有値は次の 2×2 行列の固有値と \( \lambda_2, \dots, \lambda_n \) である：
\begin{bmatrix}
\alpha & y^*x \\
1 & \lambda
\end{bmatrix}
ここで、\( x/\|x\|_2 \) を第1列とするユニタリ行列 \( U \) を構成し、\( V = [1] \oplus U \) として
\( V^* \tilde{A} V = \begin{bmatrix} B & * \\ 0 & C \end{bmatrix} \) を示せ。
\( B \in M_2 \) は上記のスケーリング後の 2×2 行列、\( C \in M_{n-2} \) は固有値 \( \lambda_2, \dots, \lambda_n \) を持つとする。
特に \( y \perp x \) のとき、\( \tilde{A} \) の固有値は \( \alpha, \lambda, \lambda_2, \dots, \lambda_n \) となる。
また、次の 2つの行列の固有値が等しいことを説明せよ：
\begin{bmatrix}
\alpha & y^* \\
x & A
\end{bmatrix},
\quad
\begin{bmatrix}
A & x \\
y^* & \alpha
\end{bmatrix}
ヒント
固有ベクトル \(x\) を正規化して第1列にもつユニタリ行列 \(U\) を構成し、直和 \(V=[1]\oplus U\) による相似変換を考える。すると \(\tilde{A}\) は上三角ブロック行列に変換され、左上の \(2\times 2\) ブロックが問題の行列 \(B\) になる。ブロック三角行列の固有値は対角ブロックの固有値の合集であることを用いる。また、行列の置き換えで同じ特性多項式をもつことから最後の2つの行列の固有値が一致することが分かる。
解答例
まず \(Ax=\lambda x\) を満たす非零ベクトル \(x\) を正規化し、
u_1=\frac{x}{\|x\|_2}
とおく。これを第1列に持つようにして正規直交基底を補完すると、あるユニタリ行列 \(U\in M_n\) が得られる。このとき
U^*AU=
\begin{bmatrix}
\lambda & * \\
0 & A_2
\end{bmatrix}
が成り立つ。ここで \(A_2\) は固有値 \(\lambda_2,\dots,\lambda_n\) をもつ行列である。つぎに
V=[1]\oplus U=
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & U
\end{bmatrix}
とおくと、\(\tilde{A}\) に対して
\tilde{A}=
\begin{bmatrix}
\alpha & y^* \\
x & A
\end{bmatrix}
であるから、相似変換 \(V^*\tilde{A}V\) を計算すると
V^*\tilde{A}V=
\begin{bmatrix}
\alpha & y^*U \\
U^*x & U^*AU
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\alpha & y^*U \\
\|x\|_2 e_1 &
\begin{bmatrix}
\lambda & * \\
0 & A_2
\end{bmatrix}
\end{bmatrix}
となる。ここで \(e_1=(1,0,\dots,0)^T\) である。したがって適当な順序で整理すると
V^*\tilde{A}V=
\begin{bmatrix}
B & * \\
0 & C
\end{bmatrix}
となるブロック上三角行列を得る。ここで
B=
\begin{bmatrix}
\alpha & y^*x \\
1 & \lambda
\end{bmatrix},
\qquad
C=A_2
である。ブロック上三角行列の固有値は対角ブロックの固有値の合集であるから、\(\tilde{A}\) の固有値は \(B\) の固有値と \(\lambda_2,\dots,\lambda_n\) である。
特に \(y\perp x\) すなわち \(y^*x=0\) のとき、\(B\) は対角行列
B=
\begin{bmatrix}
\alpha & 0 \\
1 & \lambda
\end{bmatrix}
と相似であり、固有値は \(\alpha,\lambda\) である。したがってこの場合 \(\tilde{A}\) の固有値は \(\alpha,\lambda,\lambda_2,\dots,\lambda_n\) となる。
最後に、行列
\begin{bmatrix}
\alpha & y^* \\
x & A
\end{bmatrix},
\qquad
\begin{bmatrix}
A & x \\
y^* & \alpha
\end{bmatrix}
の固有値が等しいことを示す。これら2つの行列は単にブロックの並べ方を変えたものであり、置換行列との相似によって互いに結び付けられる。したがって両者は相似であり、特性多項式が一致するため固有値も一致する。以上で補題の主張は示された。
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