2.3.P12
2.3.問題12
\( A \in M_n \) の固有値を \( \lambda_1, \dots, \lambda_n \)、\( r \in \{1, \dots, n\} \) とする。
(a) (2.3.1) を使い、複合行列 \( C_r(A) \) の固有値が \( \lambda_{i_1} \cdots \lambda_{i_r} \) の形であることを示せ。
(b) \( \mathrm{tr} C_r(A) = S_r(\lambda_1, \dots, \lambda_n) = E_r(A) \) を示せ。
(c) 固有値が \( |\lambda_1| \ge \dots \ge |\lambda_n| \) の順に並んでいるとき、\( C_r(A) \) のスペクトル半径は
\( \rho(C_r(A)) = |\lambda_1 \cdots \lambda_r| \) であることを示せ。
(d) 次の恒等式を示せ：
p_A(t) = \sum_{k=0}^n (-1)^k t^{n-k} \mathrm{tr} C_k(A), \quad \\
\det(I + A) = \sum_{k=0}^n \mathrm{tr} C_k(A)
(e) \( A \) が可逆ならば以下が成り立つことを示せ：
\det(A + B) \\
= \det A \cdot \det(I + A^{-1} B) \\
= \det A \cdot \sum_{k=0}^n \mathrm{tr} C_k(A^{-1} B) \\
=\sum_{k=0}^n \mathrm{tr}(\operatorname{adj}_k(A) \cdot C_k(B))
(f) 次の恒等式 (0.8.12.3) を証明せよ。
\det (s A + t B) = \sum_{k=0}^n s^k t^{n-k} \operatorname{tr}(\operatorname{adj}_k(A) C_k(B))
2.3.1（シュールの標準形・シュール三角化）
任意の順序で固有値 \( \lambda_1, \dots, \lambda_n \) をもつ行列 \( A \in \mathbb{M}_n \) を考えると、
(a)ユニタリ行列 \( U = [x\ u_2\ \dots\ u_n] \in \mathbb{M}_n \) が存在し、
U^* A U = T = [t_{ij}]
となって、\( T \) は上三角行列であり、対角成分は \( t_{ii} = \lambda_i,\ i = 1, \dots, n \) である。
(b)もし \( A \in \mathbb{M}_n(\mathbb{R}) \) が実固有値しか持たないならば、実直交行列 \( Q = [x\ q_2\ \dots\ q_n] \in \mathbb{M}_n(\mathbb{R}) \) が存在して、
Q^{\top} A Q = T = [t_{ij}]
が成り立ち、\( T \) は上三角行列で対角成分は \( t_{ii} = \lambda_i,\ i = 1, \dots, n \) である。
ヒント
複合行列 \( C_r(A) \) は \( A \) の \( r \) 次小行列式から構成される行列であり、外冪表示 \( \wedge^r A \) と一致することを利用する。
外冪表示は固有値を積に写すことから、固有値の積 \( \lambda_{i_1}\cdots\lambda_{i_r} \) が得られる。
トレースについては固有値の総和として表される性質を用いる。
スペクトル半径は固有値の絶対値の最大値で定義されるため、絶対値の大きい順に並べればよい。
特性多項式はニュートンの恒等式と \( C_k(A) \) の定義から導かれる。
可逆行列の場合には \(\det(A+B)\) を \(\det A\) と \(\det(I+A^{-1}B)\) に分解し、複合行列の恒等式を代入する。
最後に多重線形性を利用して係数 \( s,t \) の場合に拡張する。
解答例
(a) 行列 \( A \) の固有値を \( \lambda_1,\dots,\lambda_n \) とする。シュール三角化により、\( A \) は上三角行列 \( T \) にユニタリ同値であり、その対角成分は固有値である。
このとき外冪表示 \( \wedge^r A \) は \( \wedge^r T \) と同値であり、その固有値は \( T \) の固有値の \( r \) 個の積となる。したがって \( C_r(A)=\wedge^r A \) の固有値は
\lambda_{i_1}\lambda_{i_2}\cdots\lambda_{i_r} \quad (1\le i_1<\cdots<i_r\le n)
であることが示される。
(b) トレースは固有値の総和に等しいことから、(a) の結果より
\mathrm{tr}\,C_r(A)=\sum_{1\le i_1<\cdots<i_r\le n}\lambda_{i_1}\cdots\lambda_{i_r}
となる。右辺は基本対称式 \( S_r(\lambda_1,\dots,\lambda_n) \) に一致し、また \( E_r(A) \) とも表されるので
\mathrm{tr}\,C_r(A)=S_r(\lambda_1,\dots,\lambda_n)=E_r(A)
が成立する。
(c) スペクトル半径は固有値の絶対値の最大値で定義される。
固有値の絶対値を \( |\lambda_1|\ge\cdots\ge|\lambda_n| \) と並べると、(a) より \( C_r(A) \) の固有値は積の形をとるので、その絶対値の最大値は
\rho(C_r(A))=\max|\lambda_{i_1}\cdots\lambda_{i_r}|=|\lambda_1\cdots\lambda_r|
である。
(d) \( A \) の特性多項式 \( p_A(t)=\det(tI-A) \) は固有値表示により
p_A(t)=\prod_{i=1}^n(t-\lambda_i)=\sum_{k=0}^n(-1)^k S_k(\lambda_1,\dots,\lambda_n)t^{n-k}
と展開できる。ここで(b) の結果を用いれば
p_A(t)=\sum_{k=0}^n(-1)^k t^{\,n-k}\,\mathrm{tr}\,C_k(A)
が得られる。また \( t= -1 \) を代入することで
\det(I+A)=\prod_{i=1}^n(1+\lambda_i)=\sum_{k=0}^n \mathrm{tr}\,C_k(A)
が従う。
(e) \( A \) が可逆であると仮定する。このとき
\det(A+B)=\det A\cdot\det(I+A^{-1}B)
が成り立つ。
さらに(d) の結果を \( A^{-1}B \) に適用すると
\det(I+A^{-1}B)=\sum_{k=0}^n \mathrm{tr}\,C_k(A^{-1}B)
となる。複合行列の性質より
C_k(A^{-1}B)=C_k(A^{-1})\,C_k(B)=\operatorname{adj}_k(A)\,C_k(B)\,/\,\det A
を用いれば
\det(A+B)=\sum_{k=0}^n \mathrm{tr}\,(\operatorname{adj}_k(A)\,C_k(B))
が得られる。
(f) \( sA+tB \) に対して多重線形性と(e) の恒等式を用いると
\det(sA+tB)=\sum_{k=0}^n s^k t^{\,n-k}\,\operatorname{tr}(\operatorname{adj}_k(A)\,C_k(B))
が導かれる。これで各主張はすべて示された。
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