2.3.問題12
2.3.P12
\( A \in M_n \) の固有値を \( \lambda_1, \dots, \lambda_n \)、\( r \in \{1, \dots, n\} \) とする。
(a) (2.3.1) を使い、複合行列 \( C_r(A) \) の固有値が \( \lambda_{i_1} \cdots \lambda_{i_r} \) の形であることを示せ。
(b) \( \mathrm{tr} C_r(A) = S_r(\lambda_1, \dots, \lambda_n) = E_r(A) \) を示せ。
(c) 固有値が \( |\lambda_1| \ge \dots \ge |\lambda_n| \) の順に並んでいるとき、\( C_r(A) \) のスペクトル半径は
\( \rho(C_r(A)) = |\lambda_1 \cdots \lambda_r| \) であることを示せ。
(d) 次の恒等式を示せ：
p_A(t) = \sum_{k=0}^n (-1)^k t^{n-k} \mathrm{tr} C_k(A), \quad
\det(I + A) = \sum_{k=0}^n \mathrm{tr} C_k(A)
(e) \( A \) が可逆ならば以下が成り立つことを示せ：
\det(A + B) = \det A \cdot \det(I + A^{-1} B) =
\det A \cdot \sum_{k=0}^n \mathrm{tr} C_k(A^{-1} B) =
\sum_{k=0}^n \mathrm{tr}(\operatorname{adj}_k(A) \cdot C_k(B))
(f) 恒等式 (0.8.12.3) を証明せよ。
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