2.3.問題1
2.3.P1
\(x \in \mathbb{C}^n\) を与えられた単位ベクトルとし、
\(x = \begin{bmatrix} x_1 \\ y^T \end{bmatrix}\) と書く。ただし、\(x_1 \in \mathbb{C}\)、\(y \in \mathbb{C}^{n-1}\) である。
実数 \(\theta \in \mathbb{R}\) を、\(e^{i\theta} x_1 \geq 0\) となるように選び、
\(z = e^{i\theta} x = \begin{bmatrix} z_1 \\ \zeta^T \end{bmatrix}\) と定義する。ここで、\(z_1 \in \mathbb{R}\) は非負であり、\(\zeta \in \mathbb{C}^{n-1}\) である。
以下のエルミート行列 \(V_x\) を考える。
V_x =
\begin{bmatrix}
z_1 & \zeta^* \\
\zeta & -I + \dfrac{1}{1 + z_1} \zeta \zeta^*
\end{bmatrix}
ブロック積の計算を用いて、\(V_x^* V_x = V_x^2\) を計算せよ。
これより、\(U = e^{-i\theta} V_x = [x\ u_2\ \ldots\ u_n]\) は単位行列であり、その第1列が与えられたベクトル \(x\) であることが分かる。
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