2.3.P1
2.3.問題1
\(x \in \mathbb{C}^n\) を与えられた単位ベクトルとし、
\(x = \begin{bmatrix} x_1 \\ y \end{bmatrix} \) と書く。ただし、\(x_1 \in \mathbb{C}\)、\(y \in \mathbb{C}^{n-1}\) である。
実数 \(\theta \in \mathbb{R}\) を、\(e^{i\theta} x_1 \geq 0\) となるように選び、
\(z = e^{i\theta} x = \begin{bmatrix} z_1 \\ \zeta \end{bmatrix} \) と定義する。ここで、\(z_1 \in \mathbb{R}\) は非負であり、\(\zeta \in \mathbb{C}^{n-1}\) である。
以下のエルミート行列 \(V_x\) を考える。
V_x =
\left[
\begin{array}{c:cc}
z_1 & \zeta^* \\
\hdashline
\zeta & -I + \dfrac{1}{1 + z_1} \zeta \zeta^*
\end{array}
\right]ブロック積の計算を用いて、\(V_x^* V_x = V_x^2\) を計算せよ。
これより、\(U = e^{-i\theta} V_x = [x\ u_2\ \ldots\ u_n]\) は単位行列であり、その第1列が与えられたベクトル \(x\) であることが分かる。
ヒント
行列 \(V_x\) はエルミート行列であるので \(V_x^* = V_x\) が成り立つ。
このため、\(V_x^*V_x\) を求めることは \(V_x^2\) を求めることと同値である。
ブロック行列の積を用いれば、対角成分・非対角成分ごとに計算できる。
なお、\(z\) は単位ベクトルなので \(z_1^2 + \|\zeta\|^2 = 1\) が重要な等式となる。
解答例
まず、問題の設定より \(z\) は単位ベクトルであるから、
z_1^2 + \|\zeta\|^2 = 1
が成り立つ。
また \(z_1 \in \mathbb{R}\) で \(z_1 \ge 0\) である。次に、行列 \(V_x\) を
V_x =
\begin{bmatrix}
z_1 & \zeta^* \\
\zeta & -I + \dfrac{1}{1+z_1}\,\zeta \zeta^*
\end{bmatrix}
と書く。ここで \(\alpha = \dfrac{1}{1+z_1}\) とおく。ブロック行列の積を用いて \(V_x^2\) を計算する。
まず左上成分は
z_1^2 + \zeta^* \zeta = z_1^2 + \|\zeta\|^2 = 1
となる。
次に右上成分を計算する：
z_1 \zeta^* + \zeta^*\!\left(-I+\alpha \zeta\zeta^*\right) = (z_1-1)\zeta^* + \alpha \|\zeta\|^2 \zeta^*
ここで \(\|\zeta\|^2 = 1 - z_1^2\) を用いると係数は
(z_1-1) + \alpha(1-z_1^2)
= (z_1-1) + \frac{1-z_1^2}{1+z_1}
= 0
となるので、右上成分は 0 である。同様に左下成分も 0 になる。
最後に右下成分を求める：
\zeta \zeta^* + \left(-I+\alpha \zeta\zeta^*\right)^2 = \zeta\zeta^* + I -2\alpha \zeta\zeta^* + \alpha^2(\zeta\zeta^*)^2
ここで \((\zeta\zeta^*)^2 = \|\zeta\|^2 \zeta\zeta^*\) を用いると、
= I + \left( 1 - 2\alpha + \alpha^2 \|\zeta\|^2 \right)\zeta\zeta^*
係数を計算すると
1 - 2\alpha + \alpha^2(1-z_1^2)
=
1 - \frac{2}{1+z_1}
+ \frac{1-z_1^2}{(1+z_1)^2}
= 0
よって右下成分は \(I\) となる。
以上より
V_x^2 = I
が得られる。
また \(V_x\) はエルミート行列であるため \(V_x^* = V_x\) が成り立ち、
V_x^*V_x = V_x^2 = I
となる。したがって \(V_x\) はユニタリであり、かつ自己随伴な反射行列である。
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