[行列解析2.3.2]例

2.3.2　例

例 2.3.2

\( A \) の固有値の順番を入れ替えてから三角化 (2.3.1) を行うと、主対角線より上の成分（上三角部分）が異なることがあります。

以下の例を考えてみましょう：

\begin{align}
T_1 &= 
\begin{bmatrix} 1 & 1 & 4 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix},  \notag \\
T_2 &= 
\begin{bmatrix} 2 & -1 & 3\sqrt{2} \\ 0 & 1 & \sqrt{2} \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}, \notag \\
U &= 
\frac{1}{\sqrt{2}} 
\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{2} \end{bmatrix} \notag
\end{align}

\( U \) がユニタリであり、\( T_2 = U T_1 U^* \) を確認してください。

練習問題（シュールの不等式と非正規性の測度）

\( A = [a_{ij}] \in M_n \) の固有値を \( \lambda_1, \ldots, \lambda_n \) とし、\( A \) がある上三角行列 \( T = [t_{ij}] \in M_n \) にユニタリ相似であるとします。

このとき、\( T \) の対角成分は \( A \) の固有値の順列になっています。

式 (2.2.2) を \( A \) および \( T \) に適用して、次の式を導いてください：

\begin{align}\sum_{i=1}^{n} |\lambda_i|^2 
&= \sum_{i,j=1}^{n} |a_{ij}|^2 - \sum_{i \lt j} |t_{ij}|^2 \notag \\
&\leq \sum_{i,j=1}^{n} |a_{ij}|^2 \notag  \\
&= \mathrm{tr}(A A^*) \notag 
\end{align}

等号が成り立つのは \( T \) が対角行列である場合に限ります。

練習問題

\( A = [a_{ij}] \), \( B = [b_{ij}] \in M_2 \) が同じ固有値を持ち、かつ

 \sum_{i,j=1}^{2} |a_{ij}|^2 = \sum_{i,j=1}^{2} |b_{ij}|^2 

であるとします。

式 (2.2.8) によって \( A \) と \( B \) がユニタリ相似であることを示してください。

ただし次の行列

\begin{align}
A &= \begin{bmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 0 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}, \notag \\
B &= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 5 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix} \notag
\end{align}

は同じ固有値と成分の二乗和を持っていますが、式 (2.2.8) または (2.4.5.1) に続く練習問題を使って、\( A \) と \( B \) がユニタリ相似でないことを示してください。

それでも \( A \) と \( B \) は相似であることに注意してください。

その理由を説明してください。

補足：同時三角化

(2.3.1) の有用な拡張として、可換な複素行列族は、1つのユニタリ相似変換によって同時に上三角化できるという事実があります。

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2025.08.23