2.3.1
定理 2.3.1（シュールの標準形・シュール三角化）
任意の順序で固有値 \( \lambda_1, \dots, \lambda_n \) をもつ行列 \( A \in \mathbb{M}_n \) と、次を満たす単位ベクトル \( x \in \mathbb{C}^n \) を考えます：
\( Ax = \lambda_1 x \)
(a)
ユニタリ行列 \( U = [x\ u_2\ \dots\ u_n] \in \mathbb{M}_n \) が存在し、
U^* A U = T = [t_{ij}]
となって、\( T \) は上三角行列であり、対角成分は \( t_{ii} = \lambda_i,\ i = 1, \dots, n \) である。
(b)
もし \( A \in \mathbb{M}_n(\mathbb{R}) \) が実固有値しか持たないならば、\( x \) は実ベクトルとして選ぶことができ、実直交行列 \( Q = [x\ q_2\ \dots\ q_n] \in \mathbb{M}_n(\mathbb{R}) \) が存在して、
Q^T A Q = T = [t_{ij}]
が成り立ち、\( T \) は上三角行列で対角成分は \( t_{ii} = \lambda_i,\ i = 1, \dots, n \) である。
証明
\( x \) を固有値 \( \lambda_1 \) に対応する正規化された固有ベクトルとします。すなわち、
\( x^* x = 1 \) かつ \( Ax = \lambda_1 x \)
とします。
\( x \) を第1列とする任意のユニタリ行列 \( U_1 = [x\ u_2\ \dots\ u_n] \) を考えます。
たとえば、(2.1.13) 式のように \( U_1 = U(x, e_1) \) を取ることもできますし、練習問題 2.3.P1 のようにしても構いません。このとき、
U_1^* A U_1 = U_1^* [Ax\ Au_2\ \dots\ Au_n]
となります。
\( Ax = \lambda_1 x \) なので、
=U_1^* [\lambda_1 x\ Au_2\ \dots\ Au_n]
さらに、
=\begin{bmatrix}
x^* \\
u_2^* \\
\vdots \\
u_n^*
\end{bmatrix}
[\lambda_1 x\ Au_2\ \dots\ Au_n]\\
=
\begin{bmatrix}
\lambda_1 x^* x & x^* A u_2 & \cdots & x^* A u_n \\
\lambda_1 u_2^* x & u_2^* A u_2 & \cdots & u_2^* A u_n \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\lambda_1 u_n^* x & u_n^* A u_2 & \cdots & u_n^* A u_n
\end{bmatrix}
となり、直交性により \( x^* x = 1 \)、\( u_j^* x = 0 \) なので、全体として
U_1^* A U_1 =
\begin{bmatrix}
\lambda_1 & * \\
0 & A_1
\end{bmatrix}
というブロック上三角行列になります。
ここで、部分行列
A_1 = [u_i^* A u_j]_{i,j=2}^{n} \in \mathbb{M}_{n-1}
の固有値は \( \lambda_2, \dots, \lambda_n \) です。
もし \( n = 2 \) であれば、これで目的のユニタリ三角化は完了です。そうでなければ、\( \lambda_2 \) に対応する単位固有ベクトル \( \xi \in \mathbb{C}^{n-1} \) を取り、同様の操作を \( A_1 \) に対して繰り返します。
\( U_2 \in \mathbb{M}_{n-1} \) を第1列が \( \xi \) であるような任意のユニタリ行列とすると、
U_2^* A_1 U_2 =
\begin{bmatrix}
\lambda_2 & * \\
0 & A_2
\end{bmatrix}
が得られます。
ユニタリ相似変換と三角化の拡張
\( V_2 = [1] \oplus U_2 \) と定義し、ユニタリ相似変換を計算します：
(U_1 V_2)^* A U_1 V_2 = V_2^* U_1^* A U_1 V_2 = \begin{bmatrix} \lambda_1 & * & * \\ 0 & \lambda_2 & * \\ 0 & 0 & A_2 \end{bmatrix} この手続きを続けて、ユニタリ行列 \( U_i \in M_{n - i + 1} \)（\( i = 1, \ldots, n - 1 \)）および \( V_i \in M_n \)（\( i = 2, \ldots, n - 2 \)）を作ります。
すると、行列
U = U_1 V_2 V_3 \cdots V_{n-2} はユニタリであり、\( U^* A U \) は上三角行列となります。
もし \( A \in M_n(\mathbb{R}) \) の固有値がすべて実数であるならば、この手続きで用いるすべての固有ベクトルとユニタリ行列は実数のものを選べます（1.1.P3 および (2.1.13) を参照）。
練習問題
(2.3.1) の記法を用いて、\( U^* A^T U \) が上三角であるとします。
ここで \( V = \overline{U} \) とおいたとき、\( V^* A V \) が下三角になることを説明してください。
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