2.2.P3
2.2.問題3
\( A \in M_2 \) とする。
(a) (2.2.8b) にある3つの単語(Word) \(W\) に対して、次を示せ：
\mathrm{tr}\, W(A, A^*) = \mathrm{tr}\, W(A^T \overline{A})
(b) 任意の2×2複素行列はその転置行列とユニタリ相似であることを示せ。
ヒント
ポイントはトレースの性質を用いることである。
トレースは転置に対して不変であり、また積の循環置換に対して不変である。
さらに \(A^{*}=\overline{A}^{T}\) であることを利用する。
まず与えられた単語(Word) \(W\) に対してトレースが一致することを示し、その後これらのトレース不変量が一致することから、2×2複素行列が転置行列とユニタリ相似であることを結論づける。
解答例
(a) まずトレースの基本性質を確認する。任意の正方行列 \(X\) に対して \( \mathrm{tr}(X^{T})=\mathrm{tr}(X) \) が成り立つ。また適当なサイズの行列 \(X,Y\) に対して \( \mathrm{tr}(XY)=\mathrm{tr}(YX) \) が成り立ち、これを拡張すると積における循環置換に関しても不変である。
ここで \(A^{*}=\overline{A}^{T}\) であることに注意する。単語(Word) \(W\) は \(A\) と \(A^{*}\) の積からなる有限積であるから、その転置を取ると各因子の順序が逆転し、それぞれ転置される。したがって
W(A,A^{*})^{T}=W(A^{T},\overline{A})
が成り立つ。ここでトレースの転置不変性より
\mathrm{tr}\,W(A,A^{*})
=\mathrm{tr}\,\left(W(A,A^{*})^{T}\right)
=\mathrm{tr}\,W(A^{T},\overline{A})
となる。したがって (2.2.8b) に挙げられた3つの単語(Word) \(W\) それぞれについて \( \mathrm{tr}\,W(A,A^{*})=\mathrm{tr}\,W(A^{T}\overline{A}) \) が示されたことになる。
(b) 2×2複素行列に関しては、有限個のトレース不変量が一致することがユニタリ相似性の判定条件になる。すなわち、(2.2.8b) に挙げられた3つの単語(Word) \(W\) に対して
\mathrm{tr}\,W(A,A^{*})=\mathrm{tr}\,W(B,B^{*})
がすべて成立すれば、2×2複素行列 \(A\) と \(B\) はユニタリ相似である。
(a) より、行列 \(A\) とその転置 \(A^{T}\) に対して、これら3つの単語(Word)に関するトレース不変量が一致することが分かった。したがって上の判定条件を \(B=A^{T}\) として適用すれば、
A \sim_{u} A^{T}
すなわち \(A\) と \(A^{T}\) はユニタリ相似であることが従う。
以上より、(a) で示したトレース等式とユニタリ相似の判定定理を組み合わせることで、任意の2×2複素行列はその転置行列とユニタリ相似であることが示された。
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