[行列解析2.2.p2]平面回転による零化操作が既存の零要素と対称性を保つか

2.2.P2

2.2.問題2
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2.2.問題2

\( n \ge 3 \) とする。

すべての実行列 \(A = [a_{ij}] \in M_n(\mathbb{R})\) が、実下ヘッセンベルグ行列と直交相似であることを以下に示せ。特に、\(A\) が対称なら、その下ヘッセンベルグ行列は三重対角行列である（(0.9.9)、(0.9.10) 参照）。

まず、先の問題と同様に、1,3成分を0にするような平面回転 \(U_{1,3} = U(\theta; 1,3)\) を選ぶ。次に、\(U_{1,4} = U(\theta; 1,4)\) を選んで \(U_{1,4}^T(U_{1,3}^T A U_{1,3}) U_{1,4}\) の1,4成分を0にする。この操作を繰り返して第1行の残りをすべて0にする。

次に第2行に進み、2,4成分から始めて2,4, 2,5, ..., 2,n成分を0にする。

この操作がすでに作成した0成分を壊さず、かつ \(A\) が対称ならその対称性を保つ理由を説明せよ。

ヒント

考える操作は平面回転行列を用いた零化操作である。

すなわち特定の2つの成分だけに作用する直交変換を順にかける方法である。

平面回転 \(U(i,j)\) は \(i,j\) 成分の2次元部分空間でのみ作用し、それ以外の成分には影響しない特徴をもつ。

この点を用いて、すでに0にした成分に影響が及ばないことを確認すればよい。

また直交行列 \(U\) で相似変換 \(U^{T} A U\) を行った場合、元の行列 \(A\) が対称であれば結果も対称になることを示せばよい。

解答例

平面回転 \(U_{1,3}\) および \(U_{1,4}\) は、それぞれ添字で示された2つの座標成分のみを混合する直交行列である。ここで直交行列とは \( U^{T}U = I \) を満たす行列である。

まず \(U_{1,3}\) による変換で 1,3 成分を 0 にする。このとき \(U_{1,3}\) は 1 行および 3 行（同時に 1 列および 3 列）にしか作用しないため、第1行の他の成分や 2 行以下の成分には影響しない。さらに次に適用する \(U_{1,4}\) は 1 成分と 4 成分のみを混合する回転であるため、1,3 成分を再び変化させることはない。したがって同様の議論を繰り返すことで、第1行の残りの成分を 0 にしていっても、すでに 0 にした成分は保存される。

一般に、添字 \((i,j)\) の平面回転行列 \(U(i,j)\) は \(i\) 行と \(j\) 行のみを変化させ、他の行を不変に保つ。よって第2行に進んだ後も、2,4 成分から順に 0 にしていく操作は第1行に対して作用せず、第1行で作成した 0 成分はそのまま保たれる。

次に対称性の保存について述べる。行列 \(A\) が対称であるとは \( A^{T}=A \) が成り立つことである。いま直交行列 \(U\) によって相似変換