[行列解析2.2.p10]

2.2.問題10
- 2.2.P10
  - (a)
  - (b)
  - (c)
  - (d)
  - (e)
  - (f)
  - (g)
  - (h)
  - (i)

2.2.問題10

2.2.P10

\( n \geq 2 \) を満たす整数とし、\( \omega = e^{2\pi i / n} \) と定義します。

(a)

次の式が成り立つ理由を説明してください：

\sum_{k=0}^{n-1} \omega^{k\ell} = \begin{cases} 0 & \text{if } \ell \not\equiv 0 \pmod{n} \\ n & \text{if } \ell = mn,\; m \in \mathbb{Z} \end{cases}

(b)

\( F_n = n^{-1/2}[\omega^{(i-1)(j-1)}]_{i,j=1}^n \) と定義される \( n \times n \) のフーリエ行列について、次のことを示してください：

\( F_n \) は対称行列である。
\( F_n \) はユニタリ行列である。
\( F_n \) は自己逆行列（coninvolutory）であり、以下が成り立つ：

F_n F_n^* = F_n^* F_n = I

(c)

\( C_n \) を基本巡回置換行列（式 0.9.6.2）とします。\( C_n \) がユニタリ（すなわち実直交）である理由を説明してください。

(d)

\( D = \mathrm{diag}(1, \omega, \omega^2, \dots, \omega^{n-1}) \) とするとき、次を示してください：

C_n F_n = F_n D \Rightarrow C_n = F_n D F_n^*,\quad C_n^k = F_n D^k F_n^* \quad (k = 1, 2, \dots)

(e)

\( A \) を式 (0.9.6.1) のような巡回行列とし、先頭行が \([a_1, \dots, a_n]\) であり、式 (0.9.6.3) による和として表されているとします。このとき、次を示してください：

A = F_n \Lambda F_n^*

ただし、\( \Lambda = \mathrm{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n) \) で、\( A \) の固有値 \( \lambda_\ell \) は次の式で与えられます：

\lambda_\ell = \sum_{k=0}^{n-1} a_{k+1} \omega^{k(\ell - 1)}, \quad \ell = 1, \dots, n

さらに、\( \lambda_1, \dots, \lambda_n \) はベクトル \( n^{1/2} F_n^* A e_1 \) の成分でもあります。つまり、フーリエ行列はすべての巡回行列に対して明示的なユニタリ対角化を与えます。

(f)

ある \( i \in \{1, \dots, n\} \) に対して、次が成り立つとします：

|a_i| > \sum_{j \ne i} |a_j|

このとき式 (2.2.9) から \( A \) が正則（nonsingular）であることを導いてください。逆にこの基準を次のように言い換えることもできます：

巡回行列 \( A \) が特異（singular）であり、先頭行が \([a_1, \dots, a_n]\) であるならば、その行ベクトルはバランスしている（balanced）必要があります。詳細は (7.2.P28) を参照。

(g)

\( F_n = C_n + i S_n \) と表されるとき、\( C_n \) および \( S_n \) は実行列です。

これらの行列の成分を求めてください。

また、行列 \( H_n = C_n + S_n \) を \( n \times n \) のハートレー行列（Hartley matrix）と呼びます。

(h)

次のことを示してください：

C_n^2 + S_n^2 = I,\\ C_n S_n = S_n C_n = 0

さらに、\( H_n \) は対称行列であり、実直交行列です。

(i)

\( K_n \) を反転行列（reversal matrix, 式 0.9.5.1）とします。

このとき、次の性質を示してください：

C_n K_n = K_n C_n = C_n, \quad \\ S_n K_n = K_n S_n = -S_n,\quad \\ H_n K_n = K_n H_n

したがって、\( C_n, S_n, H_n \) は中心対称（centrosymmetric）行列です。

また、任意の行列 \( A = E + K_n F \) において、\( E, F \) は実巡回行列、\( E = E^\mathrm{T}, F = -F^\mathrm{T} \) であるとします。このとき \( H_n A H_n = \Lambda \) は対角行列であり、\( A \) の固有値はベクトル \( n^{1/2} H_n A e_1 \) の成分に等しくなります。

特に、ハートレー行列 \( H_n \) はすべての実対称巡回行列に対して明示的な実直交対角化を提供します。