2.2.P1
2.2.問題1
\( A = [a_{ij}] \in M_n(\mathbb{R}) \) を対称だが対角行列ではないとし、\( i \lt j \) かつ \( |a_{ij}| = \max\{|a_{pq}| : p < q\} \) となるような添字 \( i, j \) を選ぶ。
次に、角度 \(\theta\) を次の関係式で定める：
\cot 2\theta = \frac{a_{ii} - a_{jj}}{2a_{ij}}
このとき、\(U(\theta; i,j)\) を平面回転（2.1.11式）とし、次のように定義する：
B = U(\theta; i,j)^T A U(\theta; i,j) = [b_{pq}]
以下を示せ：
\(b_{ij} = 0\)
\sum_{p,q=1}^n |b_{pq}|^2 = \sum_{p,q=1}^n |a_{pq}|^2
\sum_{p \ne q} |b_{pq}|^2 \\
= \sum_{p \ne q} |a_{pq}|^2 - 2|a_{ij}|^2 \\
\le \left(1 - \frac{2}{n^2 - n}\right) \sum_{p \ne q} |a_{pq}|^2
ヒント
対称行列に平面回転を作用させると、指定した \(i,j\) 成分のみを変化させる \(2\times 2\) の部分に注目できる。角度 \(\theta\) を適切に選ぶことで \(b_{ij}=0\) にできる。さらに、直交行列による相似変換はフロベニウスノルムを保つことから、要素平方和は保存される。非対角成分の平方和については、変換により少なくとも \(2|a_{ij}|^2\) だけ減少することと、最大値の性質を用いる。
解答例
まず、与えられた条件より \(A\) は実対称行列であり、\(i<j\) かつ \(|a_{ij}|\) が非対角成分の最大値であるように選ばれている。角度 \(\theta\) を \(\cot 2\theta = \dfrac{a_{ii}-a_{jj}}{2a_{ij}}\) で定め、平面回転行列 \(U(\theta;i,j)\) を考える。このとき \(B=U(\theta;i,j)^TAU(\theta;i,j)\) とおく。
まず \(b_{ij}=0\) となることを示す。行列 \(U(\theta;i,j)\) は \(i,j\) 成分に対応する \(2\times 2\) の回転を持ち、それ以外の成分は単位行列である。したがって、\(A\) の \(i,j\) 行と列に対応する部分行列
\begin{bmatrix}
a_{ii} & a_{ij} \\
a_{ij} & a_{jj}
\end{bmatrix}
のみが回転により変換される。この部分に対する回転後の非対角成分は標準計算より
b_{ij}
=
\frac{a_{jj}-a_{ii}}{2}\sin 2\theta
+
a_{ij}\cos 2\theta
となる。ここで \(\cot 2\theta=\dfrac{a_{ii}-a_{jj}}{2a_{ij}}\) を代入すると右辺が 0 になるので \(b_{ij}=0\) が従う。
次に、要素平方和の保存を示す。フロベニウスノルムを用いると \(|A|_F^2=\sum_{p,q=1}^n |a_{pq}|^2\) である。直交行列 \(U(\theta;i,j)\) は \(U^TU=I\) を満たすので、
B = U^TAU \quad\Rightarrow\quad B^TB = U^TA^TAU
となる。トレースの不変性より \(\mathrm{tr}(B^TB)=\mathrm{tr}(A^TA)\) が成り立つ。よって
補足
このように、各ステップで最大の非対角成分を打ち消す平面回転を行う実数直交相似変換の列を取ると、行列は最終的に対角行列に収束し、その対角成分は行列 \(A\) の固有値となる。
対応する固有ベクトルは、この過程の副産物として得られる。この方法は実対称行列の固有値を計算するヤコビ法である。
実際には、ヤコビ法は三角関数やその逆関数を用いずに実装される。
詳細は Golub and Van Loan (1996) を参照せよ。
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