2.2.2
定理 2.2.2.
ユニタリ行列 \(U \in M_n\)、\(V \in M_m\) を与える。
さらに \(A = [a_{ij}] \in M_{n,m}\)、\(B = [b_{ij}] \in M_{n,m}\) とし、\(A = UBV\) が成り立つと仮定する。このとき
\sum_{i,j=1}^{n,m} |b_{ij}|^2 \;=\; \sum_{i,j=1}^{n,m} |a_{ij}|^2
が成り立つ。
特に、\(m=n\) かつ \(V = U^{*}\) の場合、すなわち \(A\) が \(B\) にユニタリ相似である場合にこの恒等式は成立する。
証明.
\(\mathrm{tr}(B^{*}B) = \mathrm{tr}(A^{*}A)\) を確認すれば十分である（(0.2.5) を参照）。実際、
\begin{align}
&\mathrm{tr}(A^{*}A) \notag \\
&= \mathrm{tr}((UBV)^{*}(UBV)) \notag \\
&= \mathrm{tr}(V^{*}B^{*}U^{*}UBV) \notag \\
&= \mathrm{tr}(V^{*}B^{*}BV) \notag \\
&= \mathrm{tr}(B^{*}BVV^{*}) \notag \\
&= \mathrm{tr}(B^{*}B) \notag \\
\end{align}演習.
次の2つの行列
\begin{bmatrix}
3 & 1 \\
-2 & 0
\end{bmatrix}
\quad\text{と}\quad
\begin{bmatrix}
1 & 1 \\
0 & 2
\end{bmatrix}
が相似であるが、ユニタリ相似ではないことを示せ。
ユニタリ相似は相似を含意するが、その逆は成り立たない。ユニタリ相似による同値関係は、相似による同値関係よりも細かい同値類に \(M_n\) を分割する。相似と同様に、ユニタリ相似は基底の変換に対応するが、それは特別な種類の変換であり、ある正規直交基底から別の正規直交基底への変換に対応する。
演習.
(2.1.11) の記法を用いて、平面回転 \(U(\theta; i,j)\) による実直交相似では、行と列の \(i\) と \(j\) のみが変化することを説明せよ。
演習.
(2.1.13) の記法を用いて、任意の \(A \in M_n\) に対して
U(y,x)^{*}AU(y,x) = U_{w}^{*}AU_{w}
が成り立つことを説明せよ。
すなわち、本質的にエルミートなユニタリ行列 \(U(y,x)\) によるユニタリ相似は、ハウスホルダー行列によるユニタリ相似である。
ハウスホルダー行列によるユニタリ（または実直交）相似は、しばしばハウスホルダー変換と呼ばれる。
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