2.1.問題8
2.1.問題8
\( A \in M_n \) が複素直交行列とは \( A^T A = I \) を満たすときである。
- 複素直交行列がユニタリであるための必要十分条件は、それが実行列であることであることを示せ。
- \( S =\begin{bmatrix}0 & 1 \\-1 & 0\end{bmatrix}\in _2(\mathbb{R}) \) とする。
次の行列：
A(t) = (\cosh t) I + i (\sinh t) S
が任意の \( t \in \mathbb{R} \) に対して複素直交行列であることを示せ。ただし、\( A(t) \) がユニタリとなるのは \( t = 0 \) のときに限ることも示せ。
双曲線関数の定義は以下の通り：
- \( \cosh t = \frac{e^t + e^{-t}}{2} \)
- \( \sinh t = \frac{e^t - e^{-t}}{2} \)
- ユニタリ行列の集合とは異なり、複素直交行列の集合は有界ではないこと、したがってコンパクトでもないことを示せ。
- 同じサイズの複素直交行列の集合は群を成すことを示せ。一方、実直交行列の集合はその部分群であり、コンパクトである。
- \( A \in M_n \) が複素直交行列ならば、\( |\det A| = 1 \) であることを示せ。特に上記の \( A(t) \) を使って、固有値 \( \lambda \) が \( |\lambda| \ne 1 \) を持つ場合があることを示せ。
- \( A \in M_n \) が複素直交行列ならば、\( \overline{A}, A^T, A^* \) もまた複素直交行列であり、正則であることを示せ。\( A \) の行（または列）は直交しているか？
- 対角複素直交行列を特徴づけよ。2.1.P4と比較せよ。
- \( A \in M_n \) が複素直交かつユニタリであるための必要十分条件は、\( A \) が実直交であることであることを示せ。
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