[行列解析2.1.p7]

2.1.p7

2.1.問題7

\( A, B \in M_n \)、かつ \( AB = I \) と仮定する。

このとき \( BA = I \) を導く議論を詳細に示せ：

任意の \( y \in \mathbb{C}^n \) は \( y = A(By) \) と書けるので、\(\mathrm{rank} A = n\)、したがって \(\dim(\mathrm{null}(A)) = 0 \)（0.2.3.1より）。

次に次のように計算する：

A(AB - BA) = A(I - BA) \\= A - (AB)A = A - A = 0

よって、\( AB - BA = 0 \)。

有限次元であることを仮定していることに注意する。

無限次元の場合は、\(AB=I\)であっても\(BA=I\)であるとは限らない。

A=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & \cdots \\ 0 & 0 & 1 & \\ 0 & 0 & 0 & \ddots \\ \vdots & \vdots & & \ddots \\ \end{bmatrix} \\ B=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & \cdots \\ 1 & 0 & 0 & \cdots \\ 0 & 1 & 0 & \\ \vdots & & \ddots & \ddots\\ \end{bmatrix}

とすると、\(AB=I\)であるが、\(BA \ne I\)。

\(\dim(\mathrm{null}(A)) = 0 \)より、\(AX=0\)なら\(X=0\)である。

\(A(AB-BA)=0\)より、\(AB=BA\)。