2.1.問題27
2.1.問題27
自然数 \( n \geq 2 \) とベクトル \( x = [x_i] \in \mathbb{R}^n \) を考えます。
\( x_n = x_{n-1} = 0 \) ならば \(\theta_1 = 0\) とします。そうでなければ、\(\theta_1 \in [0, 2\pi)\) を次の条件で選びます：
\cos \theta_1 = \frac{x_{n-1}}{\sqrt{x_n^2 + x_{n-1}^2}},\\
\sin \theta_1 = -\frac{x_n}{\sqrt{x_n^2 + x_{n-1}^2}}
このとき、ベクトル
x^{(1)} = U(\theta_1; n-1, n) x
について、成分 \( x^{(1)}_n = 0 \) かつ
\( x^{(1)}_{n-1} \geq 0 \) となることを示してください。
さらに、
x^{(2)} = U(\theta_2; n-2, n-1) U(\theta_1; n-1, n) x
があり、\(\theta_2\) をどのように選べば \( x^{(2)}_n = x^{(2)}_{n-1} = 0 \) かつ \( x^{(2)}_{n-2} \geq 0 \) となるかを説明してください。
一般に、\(1 \leq k < n\) であるとき、平面回転の列 \( U_1, \ldots, U_k \) を構成し、
x^{(k)} = U_k \cdots U_1 x
が成分 \( x^{(k)}_n = \cdots = x^{(k)}_{n-k+1} = 0 \) かつ \( x^{(k)}_{n-k} \geq 0 \) を満たすようにできる理由を説明してください。
また、なぜノルムの保存 (|x|_2 = |x^{(k)}|_2) が成り立つかも説明してください。
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