[行列解析2.1.p2]

2.1.P2

2.1.問題2

\(U \in M_n\) をユニタリ行列とし、\(\lambda\) を \(U\) の固有値とする。

このとき次を示せ。
(a) \(|\lambda| = 1\)。
(b) ベクトル \(x\) が \(\lambda\) に対応する \(U\) の右固有ベクトルであることと、
\(x\) が \(\lambda\) に対応する \(U\) の左固有ベクトルであることは同値である。

右固有ベクトル、左固有ベクトルについては、(1.4.6)を参照。

\(U\in M_n\) をユニタリ行列（すなわち \(U^*U=I\)）とし、
\(\lambda\) を \(U\) の固有値、\(x\neq0\) を対応する固有ベクトルとする。

以下で (a) と (b) を示す。

(a) \(|\lambda|=1\) を示す。

\|x\|^2 = \langle x,x\rangle = \langle Ux,Ux\rangle = \langle \lambda x,\lambda x\rangle = |\lambda|^2\langle x,x\rangle = |\lambda|^2\|x\|^2

(b) 右固有ベクトルと左固有ベクトルが同値であることを示す。

ここで「右固有ベクトル」とは
\(U x=\lambda x\) を満たす非零列ベクトル \(x\) を指し、「左固有ベクトル」とは行ベクトル
\(v^*\) が \(v^*U=\lambda v^*\) を満たす非零列ベクトル \(v\) を指す。

まず \(x\) が右固有ベクトルであると仮定する。すなわち

Ux=\lambda x

両辺に随伴行列 \(U^*\) を作用させると、

U^*Ux = U^*(\lambda x) = \overline{\lambda}\,U^*x

しかし \(U^*U=I\) だから左辺は \(x\) であり、よって

x = \overline{\lambda}\,U^*x \quad\Longrightarrow\quad U^*x = \lambda^{-1}x

(a) で示したように \(|\lambda|=1\) なので
\(\lambda^{-1}=\overline{\lambda}\)。

従って \(U^*x=\overline{\lambda}x\) が成り立ち、両辺を随伴（共役転置）すると

x^*U = \lambda x^*

したがって列ベクトル \(x\) は対応する行ベクトル \(x^*\) を通じて
\(\lambda\) に対応する左固有ベクトルを与える。

逆に、もし \(x\) が左固有ベクトル（すなわち
\(x^*U=\lambda x^*\)）であれば同様の議論を逆向きに行うことで
\(Ux=\lambda x\) を導ける。

したがって「\(x\) が \(\lambda\) に対応する右固有ベクトルであること」と
「\(x\) が \(\lambda\) に対応する左固有ベクトルであること」は同値である。