定理 2.1.4.
\(U \in M_n\) のとき、以下は同値である：
(a) \(U\) はユニタリである。
(b) \(U\) は正則で、かつ \(U^* = U^{-1}\) である。
(c) \(UU^* = I\) である。
(d) \(U^*\) はユニタリである。
(e) \(U\) の列ベクトルは直交正規である。
(f) \(U\) の行ベクトルは直交正規である。
(g) 任意の \(x \in \mathbb{C}^n\) に対して \(\|x\|_2 = \|Ux\|_2\)、すなわち \(x\) と \(Ux\) は同じユークリッドノルムを持つ。
証明.
(a) は (b) を含意する。
なぜなら、逆行列 \(U^{-1}\)（存在する場合）は左から掛けて単位行列 \(I\) を生じる唯一の行列であり、ユニタリの定義は \(U^*\) がそのような行列であることを意味するからである。
さらに、\(BA = I \iff AB = I\)（任意の \(A, B \in M_n\) に対して）なので、(b) は (c) を含意する。
(U^*)^* = U であることから、(c) は \(U^*\) がユニタリであることを含意する。
すなわち、(c) は (d) を含意する。各含意の逆も同様に成り立つので、(a)～(d) は同値である。
\(U\) を列ベクトルごとに \(U = [u_1 \dots u_n]\) と分割する。
すると、\(U^* U = I\) は、すべての \(i = 1, \dots, n\) に対して \(u_i^* u_i = 1\) および \(i \neq j\) のとき \(u_i^* u_j = 0\) を意味する。
したがって、\(U^* U = I\) は \(U\) の列ベクトルが直交正規であることの別の表現であり、よって (a) は (e) と同値である。
同様に、(d) と (f) も同値である。
\(U\) がユニタリで \(y = Ux\) とすると、\(y^* y = x^* U^* U x = x^* I x = x^* x\) であるから、(a) は (g) を含意する。
逆を示すために、\(U^* U = A = [a_{ij}]\) とし、任意の \(z, w \in \mathbb{C}\) を取り、(g) において \(x = z + w\) とする。
すると、\(x^* x = z^* z + w^* w + 2\mathrm{Re}(z^* w)\) および \(y^* y = x^* A x = z^* A z + w^* A w + 2\mathrm{Re}(z^* A w)\) となる。
(g) により \(z^* z = z^* A z\) および \(w^* w = w^* A w\) が成り立ち、したがって任意の \(z, w\) に対して \(\mathrm{Re}(z^* w) = \mathrm{Re}(z^* A w)\) が成立する。
\(z = e_p\)、\(w = i e_q\) とすると、\(\mathrm{Re}(i e_p^T e_q) = 0 = \mathrm{Re}(i e_p^T A e_q) = \mathrm{Re}(i a_{pq}) = -\mathrm{Im}(a_{pq})\) から、すべての \(a_{pq}\) の虚部は 0 であり、すなわち \(A\) の全要素は実数である。
さらに、\(z = e_p\)、\(w = e_q\) とすると、\(e_p^T e_q = \mathrm{Re}(e_p^T e_q) = \mathrm{Re}(e_p^T A e_q) = a_{pq}\) となり、最終的に \(A = I\) であることが分かる。
したがって \(U\) はユニタリである。
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