2.1.14定理
定理 2.1.14 (QR分解).
\( A \in M_{n,m} \) とする。
(a) \( n \geq m \) のとき、直交正規な列をもつ \( Q \in M_{n,m} \) と、対角成分が非負の上三角行列 \( R \in M_m \) が存在して、
A = QR
。
(b) \(\mathrm{rank}(A) = m\) のとき、(a)の分解に現れる \( Q \) と \( R \) は一意に定まり、\( R \) の対角成分はすべて正である。
(c) \( m = n \) のとき、(a)に現れる \( Q \) はユニタリ行列である。
(d) ユニタリ行列 \( Q \in M_n \) と、対角成分が非負の上三角行列 \( R \in M_{n,m} \) が存在して、
A = QR
(e) \( A \) が実行列のとき、(a), (b), (c), (d) の \( Q, R \) は実行列としてとることができる。
証明.
\( A \) の最初の列を \( a_1 \in \mathbb{C}^n \) とし、\( r_1 = \|a_1\|_2 \) とする。ユニタリ行列 \( U_1 \) をとり、
U_1 a_1 = r_1 e_1
が成り立つようにする。このような \( U_1 \) は定理2.1.13により具体的に構成でき、ユニタリなスカラー行列、またはユニタリなスカラー行列とハウスホルダー行列の積で与えられる。
次に分割を行う：
U_1 A = \begin{bmatrix} r_1 & * \\ 0 & A_2 \end{bmatrix} ここで \( A_2 \in M_{n-1,m-1} \)。
その第一列を \( a_2 \in \mathbb{C}^{n-1} \) とし、\( r_2 = \|a_2\|_2 \) とする。定理2.1.13を再度用いて、ユニタリ行列 \( V_2 \in M_{n-1} \) を構成し、\( V_2 a_2 = r_2 e_1 \) を満たすようにする。そして \( U_2 = I_1 \oplus V_2 \) とおく。
U_2 U_1 A = \begin{bmatrix} r_1 & * & * \\ 0 & r_2 & * \\ 0 & 0 & A_3 \end{bmatrix} この操作を \( m \) 回繰り返すと、
U_m U_{m-1} \cdots U_1 A = \begin{bmatrix} R \\ 0 \end{bmatrix} を得る。
ここで \( R \in M_m \) は上三角行列であり、その対角成分 \( r_1, \dots, r_m \) はすべて非負である。\( U = U_m U_{m-1} \cdots U_1 \) とおくと、\( U^* = [Q \; Q_2] \) と分割でき、\( Q \in M_{n,m} \) は直交正規な列をもつ。
したがって \( A = QR \) が得られる。
もし \( \mathrm{rank}(A) = m \) なら、\( R \) は正則であり、対角成分はすべて正となる。さらに一意性は、2つの分解を仮定して比較することで示される。
(c)は、直交正規な列をもつ正方行列はユニタリであることから従う。
(d) について、\( n \geq m \) の場合は(a)から拡張でき、\( n < m \) の場合は \( n \) 回の操作で打ち切ることで得られる。
(e) は、定理2.1.13より構成に用いるユニタリ行列 \( U_i \) が実行列として選べるため成立する。
練習問題.
任意の \( A \in M_n \) に対して \( B = A^* A \) とおくと、\( B = LL^* \) の形に分解できる。
ここで \( L \in M_n \) は下三角行列であり、対角成分は非負である。
この分解は \( A \) が正則のとき一意である。これは Cholesky分解 と呼ばれる。
QR分解のいくつかの変種も便利である。
例えば、\( n \leq m \) のとき \( A^* = QR \) と分解でき、ここで \( Q \in M_{n,m} \) は直交正規な列をもち、\( R \in M_m \) は上三角行列である。このとき
A = R^* Q^* = LQ
という形を得る。さらに \( \tilde{Q} \) をユニタリ行列として拡張すると、
A = [L \; 0] \tilde{Q} となる。
ここで、反転行列 \( K_p \) を導入すると、上三角行列 \( R \) から下三角行列 \( L \) を構成できる。
ここで \(K_p\) を (実直交かつ対称な) \(p \times p\) 反転行列 (0.9.5.1) とする。この行列は \(K_p^2 = I_p\) という便利な性質を持つ。正方行列 \(R \in M_p\) に対して、
L = K_p R K_p
とおくと、もし \(R\) が上三角行列であれば \(L\) は下三角行列となり、かつ \(L\) の主対角成分は \(R\) のものを逆順に並べたものである。
もし \(n \geq m\) で、かつ \(A K_m = QR\) （式 (2.1.14a)）が成り立つならば、
A = (Q K_m)(K_m R K_m)
と分解できる。ここで \(Q \in M_n\) はユニタリ行列、\(R \in M_n\) は上三角行列である。このとき、
A = QL
となり、\(Q \in M_{n,m}\) は直交正規な列を持ち、\(L \in M_m\) は下三角行列である。また、もし \(\tilde{Q} = [Q \; Q_2]\) がユニタリ行列であれば、次の分解を得る：
A = \tilde{Q} \begin{bmatrix} L \\ 0 \end{bmatrix}
もし \(n \leq m\) であれば、式 (2.1.17a), (2.1.17b) を \(A^*\) に適用することで次の分解を得る：
A = RQ = [R \; 0] \tilde{Q} ここで \(R \in M_n\) は上三角行列、\(Q \in M_{n,m}\) は直交正規な行を持ち、\(\tilde{Q} \in M_m\) はユニタリ行列である。さらに、もし \(n \leq m\) で \(A K_m\) に (2.1.14d) を適用すると、
A = (Q K_n)(K_n [R \;\; *] K_m)
となり、次の形の分解が得られる：
A = \tilde{Q} L \quad
ここで \(\tilde{Q} \in M_n\) はユニタリ行列であり、\(L \in M_{n,m}\) は下三角行列である。
重要な幾何学的事実として、同じ数の直交正規ベクトルを含む任意の2つのリストは、ユニタリ変換によって互いに関連づけられる。
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