1.4.問題5
1.4.P5
次のブロック三角行列を考える：
A = \begin{bmatrix}
A_{11} & A_{12} \\
0 & A_{22}
\end{bmatrix}, \quad A_{ii} \in M_{n_i}, \ i = 1, 2
もし \( x \in \mathbb{C}^{n_1} \) が \( A_{11} \) の固有値 \( \lambda \in \sigma(A_{11}) \) に対応する右固有ベクトルであり、また \( y \in \mathbb{C}^{n_2} \) が \( A_{22} \) の固有値 \( \mu \in \sigma(A_{22}) \) に対応する左固有ベクトルであるとする。
このとき、
\begin{bmatrix}
x \\
0
\end{bmatrix} \in \mathbb{C}^{n_1+n_2}
は \( A \) の固有値 \( \lambda \) に対応する右固有ベクトルであり、
\begin{bmatrix}
0 \\
y
\end{bmatrix}
は \( A \) の固有値 \( \mu \) に対応する左固有ベクトルであることを示せ。
この観察を用いて、\( A \) の固有値は \( A_{11} \) の固有値と \( A_{22} \) の固有値を合わせたものであることを示せ。
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[行列解析]総本山
行列解析の総本山。行列解析の内容を網羅的かつ体系的に整理しています。線形代数の学習を一通り終えた方が、次のステップとして取り組むのに最適です。行列に関する不等式を研究するには、行列解析の知識が欠かせません。
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