1.4.P4
1.4.問題4
\( A \in M_n \) が三重対角行列で、主対角成分がすべて 0 であるとする。\( S = \mathrm{diag}(-1, 1, -1, \ldots, (-1)^n) \) と定義したとき、次を示せ：
S^{-1} A S = -A
さらに、固有値 \( \lambda \) が \( A \) の固有値であり、その重複度が \( k \) であるならば、\(-\lambda\) もまた重複度 \( k \) の固有値であることを説明せよ。
また、\( n \) が奇数のとき、\( A \) が特異行列であることを示せ。
ヒント
行列 \( S \) は対角行列であり、対角成分が \( \pm 1 \) であることから \( S^{-1}=S \) が成り立つ。
\begin{bmatrix}
-1&0&0&0 \\ 0&1&0&0 \\ 0& 0& -1 & 0 \\ 0&0&0&1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
-1&0&0&0 \\ 0&1&0&0 \\ 0& 0& -1 & 0 \\ 0&0&0&1
\end{bmatrix}=I_4三重対角行列では、非零成分は主対角の上下に限られるため、共役変換 \( S^{-1}AS \) によって各成分がどのように符号変化するかを調べればよい。
\begin{aligned}
S^{-1}AS
&
=\begin{bmatrix}
-1&0&0&0 \\ 0&1&0&0 \\ 0& 0& -1 & 0 \\ 0&0&0&1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
0&a_{12}&0&0 \\ a_{21}&0&a_{23}&0 \\ 0& a_{32}& 0 & a_{34} \\ 0&0&a_{43}&0
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
-1&0&0&0 \\ 0&1&0&0 \\ 0& 0& -1 & 0 \\ 0&0&0&1
\end{bmatrix}\\
&=
\begin{bmatrix}
0&-a_{12}&0&0 \\ a_{21}&0&a_{23}&0 \\ 0& -a_{32}& 0 & -a_{34} \\ 0&0&a_{43}&0
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
-1&0&0&0 \\ 0&1&0&0 \\ 0& 0& -1 & 0 \\ 0&0&0&1
\end{bmatrix}\\
&= \begin{bmatrix}
0&-a_{12}&0&0 \\ -a_{21}&0&-a_{23}&0 \\ 0& -a_{32}& 0 & -a_{34} \\ 0&0&-a_{43}&0
\end{bmatrix}
\end{aligned}固有値については、相似変換と固有値の不変性、および符号反転の関係を用いる。
さらに、固有値の対称性から行列式を考えると、\( n \) が奇数の場合の特異性が導かれる。
解答例
\( S=\mathrm{diag}(-1,1,-1,\ldots,(-1)^n) \) は対角成分がすべて \( \pm1 \) である対角行列であるから、\( S^{-1}=S \) が成り立つ。
\( A=(a_{ij}) \) を三重対角行列とすると、\( a_{ij}=0 \) は \( |i-j|>1 \) のときに成り立ち、また仮定より主対角成分はすべて \( a_{ii}=0 \) である。したがって非零となり得るのは \( a_{i,i+1} \) および \( a_{i+1,i} \) のみである。
このとき、行列 \( S^{-1}AS \) の成分は \( (S^{-1}AS)_{ij}=s_i a_{ij} s_j \) と書ける。ただし \( s_i=(-1)^i \) である。特に \( |i-j|=1 \) の場合には \( s_i s_j = (-1)^i (-1)^j = -1 \) が成り立つ。一方、主対角成分はもともと 0 である。
よって、すべての非零成分に対して符号が反転し、
S^{-1}AS=-A
が示された。
次に、\( \lambda \) を \( A \) の固有値とし、その重複度を \( k \) とする。相似変換は固有値を保つため、\( S^{-1}AS \) の固有値も \( \lambda \) であり、その重複度も \( k \) である。一方で \( S^{-1}AS=-A \) であるから、\( -A \) の固有値は \( \lambda \) である。これは \( A \) の固有値が \( -\lambda \) であることを意味し、その重複度も同じく \( k \) となる。
最後に、\( n \) が奇数であるとする。固有値は \( \lambda \) と \( -\lambda \) の組で現れ、重複度も等しい。次元が奇数である場合、これらの対だけではすべての固有値を埋め尽くすことができないため、少なくとも一つは \( \lambda=0 \) が固有値として現れる。
したがって行列 \( A \) は零固有値をもち、行列式が 0 となるので、\( n \) が奇数のとき \( A \) は特異行列である。
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