1.4.P3
1.4.問題3
\( n \geq 2 \) とし、\( T = [t_{ij}] \in M_n \) を上三角行列とする。
(a) 固有値 \( t_{nn} \) に対応する \( T \) の右固有ベクトルを \( x \) とする。
このとき、\( e_n \) が \( t_{nn} \) に対応する左固有ベクトルである理由を説明せよ。
さらに、各 \( i = 1, \ldots, n-1 \) について \( t_{ii} \neq t_{nn} \) であるならば、\( x \) の最後の成分が 0 でないことを示せ。
(b) \( k \in \{1, \ldots, n-1\} \) とする。このとき、固有値 \( t_{kk} \) に対応する \( T \) の固有ベクトル \( x \) が存在し、\( x \) の最後の \( n-k \) 成分がすべて 0 であること、すなわち
x = \begin{bmatrix}\xi \\ 0_{n-k}\end{bmatrix}, \quad \xi \in \mathbb{C}^k
となることを示せ。
さらに、すべての \( i = 1, \ldots, k-1 \) に対して \( t_{ii} \neq t_{kk} \) であるならば、\( x \) の第 \( k \) 成分が 0 でないことを説明せよ。
ヒント
上三角行列では、対角成分が固有値となる。
すなわち、\(T\)の固有値は、\(t_{ii}\,(i=1,\ldots,n)\)である。
右固有ベクトルは \( (T-\lambda I)x=0 \)、左固有ベクトルは \( y^{*}(T-\lambda I)=0 \) を満たすベクトル\(x,y\)である。
上三角構造に注目すると、行や列の末尾から順に成分の関係を調べることができる。
解答例
(a) \( T \) は上三角行列であるから、その随伴\( T^{*} \) は下三角行列である。
固有値 \( t_{nn} \) に対する左固有ベクトル \( y \) は \( y^{*}T = t_{nn} y^{*} \) を満たす。
これは \( T^{*}y = t_{nn} y \) と同値である。
\( T^{*} \) の第 \( n \) 列を考えると、対角成分は \( t_{nn} \)、それより下の成分は存在しない。したがって、標準基底ベクトル \( e_n \) は \( T^{*}e_n = t_{nn} e_n \) を満たし、\( e_n \) は固有値 \( t_{nn} \) に対応する左固有ベクトルである。
次に、\( x \) を固有値 \( t_{nn} \) に対応する右固有ベクトルとする。すなわち \( (T-t_{nn}I)x=0 \) である。
(T-t_{nn}I)x = 0
この行列は上三角であり、第 \( i \) 行（\( i=1,\ldots,n-1 \)）の対角成分は \( t_{ii}-t_{nn} \) である。仮定より \( t_{ii}\neq t_{n} \) なので、これらの成分はすべて 0 ではない。
後ろから成分を調べると、最後の成分が 0 であると、下から順にすべての成分が 0 となり、非自明な固有ベクトルが得られない。
したがって、\( x \) の最後の成分は 0 ではない。
(b) \( k\in\{1,\ldots,n-1\} \) とし、固有値 \( t_{kk} \) を考える。上三角行列の構造より、 \( (T-t_{kk}I)x=0 \) を解くと、第 \( k+1 \) 行から第 \( n \) 行までは対角成分がすべて \( t_{ii}-t_{k}\neq 0 \) であるため、対応する成分はすべて 0 となる。
したがって、固有ベクトル \( x \) は \( x^{\top}=[\xi^{\top}\;0]^{\top} \), \( \xi \in \mathbb{C}^k \) という形に取ることができる。
さらに、すべての \( i=1,\ldots,k-1 \) に対して \( t_{ii}\neq t_{kk} \) であると仮定する。
このとき、第 \( k \) 行の方程式では第 \( k \) 成分が自由変数として残る。もし第 \( k \) 成分が 0 であれば、同様に下から順にすべての成分が 0 となり、非自明な固有ベクトルにならない。よって、\( x \) の第 \( k \) 成分は 0 ではない。
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