1.4.問題2
1.4.P2
\( A \in M_n \) が歪対称行列であるとする。このとき、
p_A(t) = (-1)^n p_A(-t)
が成り立つことを示せ。
さらに、もし \(\lambda\) が \(A\) の固有値で、その重複度が \(k\) であるなら、\(-\lambda\) もまた固有値であり、重複度も \(k\) であることを導け。
\(n\) が奇数のとき、なぜ \(A\) が必ず特異行列（非正則行列）になるかを説明せよ。
また、なぜ \(A\) のすべての奇数サイズの主小行列式が 0 になるかを説明せよ。
さらに、歪対称行列が「ランク主行列(rank principal)」（定理 0.7.6）であるという事実を用いて、\(\mathrm{rank}\,A\) が必ず偶数であることを示せ。
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