[行列解析1.4.p2]

1.4.問題2

1.4.P2

\( A \in M_n \) が歪対称行列であるとする。このとき、

p_A(t) = (-1)^n p_A(-t)

が成り立つことを示せ。

さらに、もし \(\lambda\) が \(A\) の固有値で、その重複度が \(k\) であるなら、\(-\lambda\) もまた固有値であり、重複度も \(k\) であることを導け。

\(n\) が奇数のとき、なぜ \(A\) が必ず特異行列（非正則行列）になるかを説明せよ。

また、なぜ \(A\) のすべての奇数サイズの主小行列式が 0 になるかを説明せよ。

さらに、歪対称行列が「ランク主行列(rank principal)」（定理 0.7.6）であるという事実を用いて、\(\mathrm{rank}\,A\) が必ず偶数であることを示せ。