[行列解析1.4.P17]三重対角行列の固有値の具体計算

1.4.P17

1.4.問題17

(1.4.13)

A = \begin{pmatrix} a & b & & & 0 \\ c & a & b & & \\ & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & \ddots & a & b \\ 0 & & & c & a \end{pmatrix} \in M_n, \quad bc \neq 0

(1.4.13) で \(a = 2\)、\(b = c = -1\) の場合、次を示せ：

\sigma(A) = \left\{ 4 \sin^2 \frac{\pi \kappa}{2(n+1)} : \kappa = 1, \dots, n \right\}

行列は三重対角テプリッツ行列であり、一般の場合の固有値は \(a + 2\sqrt{bc}\cos\frac{\pi \kappa}{n+1}\) で与えられる。

この式に \(a=2\)、\(b=c=-1\) を代入し、三角関数の恒等式
\(1-\cos\theta = 2\sin^2\frac{\theta}{2}\) を用いて整理する。

一般の三重対角テプリッツ行列に対して、固有値は
\( \lambda_\kappa = a + 2\sqrt{bc}\cos\frac{\pi \kappa}{n+1} \) で与えられる。

ここで \(a=2\)、\(b=c=-1\) とすると \(bc=1\) であり、
\(\sqrt{bc}=1\) と取れる。したがって固有値は

\lambda_\kappa = 2 + 2\cos\frac{\pi \kappa}{n+1} \quad (\kappa=1,\dots,n)

となる。ここで三角関数の恒等式
\( 1+\cos\theta = 2\cos^2\frac{\theta}{2} \) あるいは \( 1-\cos\theta = 2\sin^2\frac{\theta}{2} \) を用いると、

2 + 2\cos\theta = 4\cos^2\frac{\theta}{2} = 4\sin^2\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\theta}{2}\right)

が成り立つ。

ここで \(\theta=\frac{\pi \kappa}{n+1}\) とおくと、

\lambda_\kappa = 4\sin^2\frac{\pi \kappa}{2(n+1)} \quad (\kappa=1,\dots,n)

を得る。

よって、 \( \sigma(A) = \left\{ 4 \sin^2 \frac{\pi \kappa}{2(n+1)} : \kappa = 1, \dots, n \right\} \) である。