[行列解析1.4.P16]複素三重対角テプリッツ行列の対角化と固有値

1.4.P16

1.4.問題16

複素三重対角テプリッツ行列

(1.4.13)

A = \begin{pmatrix} a & b & & & 0 \\ c & a & b & & \\ & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & \ddots & a & b \\ 0 & & & c & a \end{pmatrix} \in M_n, \quad bc \neq 0

は対角化可能であり、スペクトルは次で与えられる：

\sigma(A) = \{\, a + 2 \sqrt{bc} \cos\frac{\pi \kappa}{n+1} : \kappa = 1, \dots, n \,\}

ここで \(\mathrm{Re}\,\sqrt{bc} \ge 0\) であり、\(bc\) が実数かつ負の場合には \(\mathrm{Im}\,\sqrt{bc} > 0\) とする。

行列 \(A\) は一定の対角成分 \(a\) と上下に一定の成分 \(b,c\) をもつ三重対角行列である。

この種の行列では、固有ベクトルを正弦関数型で仮定すると固有値問題が差分方程式に帰着される。

さらに、\(bc \neq 0\) の仮定のもとで異なる固有値が得られることから、行列が対角化可能であることが示される。

固有値問題 \(Ax = \lambda x\) を考える。成分表示で \(x = (x_1,\dots,x_n)^{\mathsf{T}}\) とすると、内部成分について

b x_{j+1} + a x_j + c x_{j-1} = \lambda x_j \quad (j=1,\dots,n)

が成り立つ。ただし境界条件は \(x_0 = 0\)、\(x_{n+1} = 0\) とする。ここで \(x_j = r^j\) の形の解を仮定すると、特性方程式

b r^2 + (a-\lambda) r + c = 0

を得る。この二次方程式の解を \(r = \sqrt{\frac{c}{b}}\, e^{\pm i\theta}\) と書くと、

\lambda = a + 2\sqrt{bc}\cos\theta

が従う。境界条件 \(x_0=0\)、\(x_{n+1}=0\) から \(\theta = \frac{\pi \kappa}{n+1}\)（\(\kappa=1,\dots,n\)）が得られる。よって固有値は

\lambda_\kappa = a + 2\sqrt{bc}\cos\frac{\pi \kappa}{n+1}, \quad \kappa=1,\dots,n

で与えられる。ここで \(\mathrm{Re}\,\sqrt{bc} \ge 0\) と取り、特に \(bc\) が実数かつ負の場合には \(\mathrm{Im}\,\sqrt{bc} > 0\) とすることで平方根の分枝を一意に定める。

異なる \(\kappa\) に対して \(\cos\frac{\pi \kappa}{n+1}\) は互いに異なる値をとるため、固有値 \(\lambda_1,\dots,\lambda_n\) はすべて相異なる。

したがって、行列 \(A\) は \(n\) 個の一次独立な固有ベクトルをもち、対角化可能である。