1.4.問題13
1.4.P13
行列 \(A \in M_n\) とゼロでないベクトル \(x, y \in \mathbb{C}^n\) が与えられ、\(\lambda, \lambda_2, \dots, \lambda_n\) を \(A\) の固有値とする。
ここで、\(Ax = \lambda x\) および \(y^*A = \lambda y^*\) が成り立ち、\(\lambda\) の幾何重複度が 1 であると仮定する。
このとき (1.4.11) により
\mathrm{adj}(\lambda I - A) = \gamma\, x y^*
かつ \(\gamma \neq 0\) である。
(a) なぜ次が成り立つのか説明せよ：
\gamma\, y^* x = \mathrm{tr}(\lambda I - A) \\
= E_{n-1}(\lambda I - A) \\
= S_{n-1}(\lambda I - A) \\
= (\lambda - \lambda_2)(\lambda - \lambda_3) \cdots (\lambda - \lambda_n)
(b) (a) から、\(\lambda\) が単純固有値であるとき、\(\ y^* x \neq 0 \) であることを導け。
(c) パラメータ \(\gamma\) は、\(\lambda\) の重複度に関わらず常に非ゼロである。もし \(\lambda\) が単純固有値であれば、なぜ次の式が成り立つのか説明せよ：
\gamma = \frac{(\lambda - \lambda_2)(\lambda - \lambda_3) \cdots (\lambda - \lambda_n)}{y^* x}
(d) なぜ次の条件が同値であるのか説明せよ：
\text{すべての } x \text{ と } y \text{ の要素が非ゼロ} \\
\iff \text{adj}(\lambda I - A) \text{ のすべての主小行列が非ゼロ} \\
\iff \text{adj}(\lambda I - A) \text{ の主対角要素が非ゼロ} \\
\iff \text{adj}(\lambda I - A) \text{ のすべての要素が非ゼロ}
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