[行列解析1.4.P10]左固有ベクトル行列と右固有ベクトルの関係

1.4.P10

1.4.問題10

行列 \(T \in M_n\) が非特異で、その列が行列 \(A \in M_n\) の左固有ベクトルであるとする。

このとき、\(T^{-*}\) の列は \(A\) の右固有ベクトルであることを示せ。

左固有ベクトルの定義 \( x^*A=\lambda x^* \) を行列の形でまとめて考える。

随伴行列と逆行列の性質、特に \( (T^{-1})^*=(T^*)^{-1} \) を用いて式を変形すると、右固有ベクトルの条件 \( Av=\lambda v \) が現れる。

仮定より、非特異行列 \( T\in M_n \) の各列は行列 \( A \) の左固有ベクトルである。したがって、ある対角行列 \( \Lambda \) が存在して \( T^*A=\Lambda T^* \) が成り立つ。

この式の両辺に左から \( (T^*)^{-1} \) を掛けると、 \( A=(T^*)^{-1}\Lambda T^* \) を得る。

次に、右から \( (T^*)^{-1} \) を掛けると、

A (T^*)^{-1} = (T^*)^{-1} \Lambda

となる。ここで \( (T^*)^{-1}=T^{-*} \) であるから、 \( A T^{-*}=T^{-*}\Lambda \) が成り立つ。

この等式は、\( T^{-*} \) の各列 \( v \) について \( Av=\lambda v \) が成り立つことを意味する。したがって、\( T^{-*} \) の列はすべて行列 \( A \) の右固有ベクトルである。