1.4.問題1
1.4.P1
ゼロでないベクトル \( x, y \in \mathbb{C}^n \) を与え、\( A = x y^* \)、および \( \lambda = y^* x \) とする。
(a) \(\lambda\) が \( A \) の固有値であることを示せ。
(b) \( x \) が \(\lambda\) に対応する右固有ベクトルであり、\( y \) が \(\lambda\) に対応する左固有ベクトルであることを示せ。
(c) \(\lambda \neq 0\) であれば、\(\lambda\) が \( A \) の唯一の非零固有値であること（代数的重複度 = 1）を示せ。
また、\( y \) に直交する任意のベクトルが \( A \) の零空間に含まれる理由を説明せよ。固有値 0 の幾何的重複度はいくつか。
さらに、\( A \) が対角化可能であることと \( y^* x \neq 0 \) であることが同値である理由を説明せよ。
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