1.4.3定義
\( \lambda \) に対応する \(A\) の固有空間の次元を 幾何重複度（geometric multiplicity） という。
\(A\) の特性多項式の零点としての\( \lambda \) の重複度を 代数重複度（algebraic multiplicity） という。
特に断りなく「重複度」という用語が使われる場合、それは代数重複度を指す。
代数重複度が \(1\) の場合、\( \lambda \) を 単純（simple） という。
代数重複度と幾何重複度が等しい場合、\( \lambda \) を 半単純（semisimple） という。
固有値 \( \lambda \) の幾何重複度を理解する方法はいくつかある。
幾何重複度は \(A - \lambda I\) の零空間の次元であり、したがって
\text{幾何重複度} = n - \operatorname{rank}(A - \lambda I)
とも表せる。また、\( \lambda \) に対応する線形独立な固有ベクトルの最大数とも一致する。
定理 1.2.18 および 1.3.7 は、固有値の幾何重複度と代数重複度の関係に関する不等式を示しているが、それぞれ異なる観点からの不等式である。
演習．
(1.2.18) を用いて、固有値の代数重複度が幾何重複度以上である理由を説明せよ。
代数重複度が \(1\) の場合、なぜ幾何重複度も \(1\) になるのか説明せよ。
演習．
(1.3.7) を用いて、固有値の幾何重複度が代数重複度以下である理由を説明せよ。
代数重複度が \(1\) の場合、なぜ幾何重複度も \(1\) になるのか説明せよ。
演習．
以下の行列と固有値 \( \lambda = 1 \) に関して、それぞれの幾何重複度と代数重複度を確認せよ。
A_1 = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 2\end{pmatrix} : \\
\text{幾何重複度} = \text{代数重複度} = 1, \\
\text{単純}
A_2 = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} : \\
\text{幾何重複度} = \text{代数重複度} = 2, \\
\text{半単純}
A_3 = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 1 & 1\end{pmatrix} :\\
\text{幾何重複度} = 1, \text{代数重複度} = 2
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