[行列解析1.4.2]定義（固有空間）

1.4.2定義

\( A \in M_n \) とする。

\( \lambda \in \sigma(A) \) が与えられたとき、\( Ax = \lambda x \) を満たすすべてのベクトル \( x \in \mathbb{C}^n \) の集合は、固有値 \( \lambda \) に対応する \( A \) の固有空間と呼ばれる。

この固有空間の任意の非ゼロ要素は、\( \lambda \) に対応する \( A \) の固有ベクトルである。

固有値 \( \lambda \) に対応する \( A \) の固有空間が \( A \)-不変部分空間であることを示せ。

ただし、\( A \)-不変部分空間は必ずしも \( A \) の固有空間であるとは限らないことに注意せよ。

また、最小の \( A \)-不変部分空間（それより低次元で非ゼロの \( A \)-不変部分空間を含まない \( A \)-不変部分空間）\( W \) が \( A \) の単一の固有ベクトルの張る空間である理由を説明せよ。

すなわち、\(\dim W = 1\) である。