[行列解析1.3.P9]特異行列の積の相似性と固有値

1.3.P9

1.3.問題9

次の特異行列 \( A \) と \( B \) を考える。

A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}

\( AB \) と \( BA \) が相似でないこと、しかし同じ固有値を持つことを示せ。

まず \( AB \) と \( BA \) を具体的に計算する。

それぞれの階数や冪零性に注目すると、相似でないことが分かる。

一方、固有値については特性多項式を計算することで比較できる。

与えられた行列 \( A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \), \( B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \) について、まず積を計算する。

AB = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \\ BA = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}

したがって \( AB = B \) であり、\( BA \) は零行列である。ここで \( AB \) の階数は 1 であるが、\( BA \) の階数は 0 である。相似な行列は階数が一致する必要があるため、\( AB \) と \( BA \) は相似ではない。

次に固有値を調べる。\( AB \) の特性多項式は \( \det(AB - \lambda I) = \det\begin{pmatrix} -\lambda & 1 \\ 0 & -\lambda \end{pmatrix} = \lambda^2 \) である。

一方、\( BA \) は零行列であるから、 \( \det(BA - \lambda I) = \det(-\lambda I) = \lambda^2 \) となる。

以上より、\( AB \) と \( BA \) は相似ではないが、いずれも固有値として \( 0 \) を重複度 2 で持つことが分かる。