1.3.P40
1.3.問題40
\(A, B \in M_n\) のジョルダン積は \(]A, B[ = AB + BA\) と定義される。
行列 \(A\) と \(B\) が反交換するとは、\(]A, B[ = 0\) であることをいう（参照: 0.7.7）。
(a) 無限に異なる行列を含む可換な行列族の例を挙げよ。
(b) 行列族 \(\mathcal{F} = \{A_1, A_2, \dots\}\) が次の条件を満たすとする:
\(i \neq j\) のとき \(]A_i, A_j[ = 0\) であり、かつすべての \(i = 1, 2, \dots\) に対して \(A_i^2 \neq 0\) である。
すなわち、族 \(\mathcal{F}\) のいかなる行列も自身と反交換しない。
このとき、\(I \notin \mathcal{F}\) であり、\(\mathcal{F}\) の任意の有限集合は線形独立であることを示せ。
これにより、\(\mathcal{F}\) には高々 \(n^2 - 1\) 個の行列しか含まれないことが分かる。
(c) \(\mathcal{F} = \{A_1, A_2, \dots\}\) が互いに反交換する異なる対角化可能な行列の族であるとする。
このとき、\(\mathcal{F}\) は有限族であり、\(\{A_1^2, A_2^2, \dots\}\) は有限の可換対角化可能行列族を形成することを示せ。
ヒント
ジョルダン積 \(]A,B[=AB+BA\) が 0 であることは、積が符号を変えて入れ替わる関係を意味する。
単位行列との関係や、線形結合を仮定したときに生じる矛盾に注目する。
また、対角化可能な行列では固有値や二乗の性質を用いると議論が整理できる。
解答例
(a) 例えば、すべての対角行列全体は可換であり、互いに可換な行列を無限に含む行列族の例である。実際、任意の対角行列 \(D_1,D_2\) に対して \(D_1D_2=D_2D_1\) が成り立つ。
(b) まず、単位行列 \(I\) は \(\mathcal{F}\) に含まれないことを示す。もし \(I \in F\) であれば、任意の \(A_i\in F\) に対して \(]A_i,I[=A_i I+IA_i=2A_i\) となる。反交換条件よりこれが 0 であるから \(A_i=0\) となり、仮定 \(A_i^2\neq 0\) に矛盾する。よって \(I\notin F\) である。
次に、\(\mathcal{F}\) の任意の有限部分集合が線形独立であることを示す。有限個 \(A_1,\dots,A_k\in F\) に対して \(\alpha_1A_1+\cdots+\alpha_kA_k=0\) と仮定する。両辺に \(A_j\) を右から掛けると \(\alpha_1A_1A_j+\cdots+\alpha_kA_kA_j=0\) となる。反交換性より \(A_iA_j=-A_jA_i\)（\(i\neq j\)）であり、さらに \(A_j^2\neq 0\) を用いると、係数を比較することで \(\alpha_j=0\) が従う。これがすべての \(j\) について成り立つので、すべての係数は 0 である。したがって線形独立である。
\(M_n\) の次元は \(n^2\) であり、単位行列を含まない線形独立な集合は高々 \(n^2-1\) 個しか取れない。よって \(\mathcal{F}\) に含まれる行列の個数は高々 \(n^2-1\) 個である。
(c) \(\mathcal{F}=\{A_1,A_2,\dots\}\) が互いに反交換する対角化可能行列の族であるとする。(b) より \(\mathcal{F}\) は高々 \(n^2-1\) 個しか含めないから有限族である。さらに、反交換条件 \(]A_i,A_j[=0\) から \(A_iA_j=-A_jA_i\) が成り立つので、両辺をそれぞれ自乗すると \(A_i^2A_j^2=A_j^2A_i^2\) となる。したがって \(\{A_1^2,A_2^2,\dots\}\) は可換な行列族である。
各 \(A_i\) は対角化可能であるから、その多項式である \(A_i^2\) も対角化可能である。以上より、\(\{A_1^2,A_2^2,\dots\}\) は有限の可換対角化可能行列族を形成する。
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