1.3.問題35
1.3.P35
集合 \(A \subseteq M_n\) が代数であるとは、(i) \(A\) が部分空間であり、(ii) \(A, B \in A\) のとき \(AB \in A\) が成り立つことをいう。
以下の主張を詳細に証明し、行列代数に関するバーンサイドの定理を導け：
定理：\(n \geq 2\) のとき、代数 \(A \subseteq M_n\) が与えられる。
このとき、\(A = M_n\) であることと、\(A\) が既約であることは同値である。
(a) \(n \geq 2\) で、代数 \(A \subseteq M_n\) が既約でない（可約である）ならば、\(A \neq M_n\)。
これはバーンサイドの定理における容易な含意である。逆に、\(A\) が既約ならば \(A = M_n\) であることを示すにはさらなる議論が必要である。以下では、\(A \subseteq M_n\) を与えられた代数とし、\(A^* = \{A^* : A \in A\}\) とする。
(b) \(n \geq 2\) かつ \(A\) が既約であれば、\(A \neq \{0\}\)。
(c) \(x \in \mathbb{C}^n\) が非零ベクトルならば、
Ax = \{Ax : A \in A\}
は \(\mathbb{C}^n\) の \(A\)-不変部分空間である。
(d) \(n \geq 2\)、\(x \in \mathbb{C}^n\) が非零で、かつ \(A\) が既約ならば、\(Ax = \mathbb{C}^n\)。
(e) 任意の \(x \in \mathbb{C}^n\) に対し、
A^* x = \{A^* x : A \in A\}
は \(\mathbb{C}^n\) の部分空間である。
(f) \(n \geq 2\)、\(x \in \mathbb{C}^n\) が非零で、かつ \(A\) が既約ならば、\(A^*x = \mathbb{C}^n\)。
(g) \(n \geq 2\)、\(A\) が既約ならば、ある \(A \in A\) が存在して \(\mathrm{rank}(A) = 1\) となる。
(h) \(n \geq 2\)、\(A\) が既約で、非零ベクトル \(y, z \in \mathbb{C}^n\) が存在して \(yz^* \in A\) であるならば、\(A\) はすべてのランク1行列を含む。
(i) \(A\) がすべてのランク1行列を含むならば、\(A = M_n\) である（0.4.4(i) を参照）。
注記と参考文献:
(1.3.P35) のBurnsideの定理の証明は、I. Halperin と P. Rosenthal による "Burnside's theorem on algebras of matrices" (Amer. Math. Monthly 87 (1980) 810) に基づく。
その他のアプローチとして、Radjavi と Rosenthal (2000)、V. Lomonosov と P. Rosenthal (2004) がある。
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