[行列解析1.3.P33]非実固有値をもつ実行列の2×2実表示

1.3.問題33
- ヒント
- 解答例
行列解析の総本山
- 総本山の目次📚
- 記号の意味🔎

1.3.問題33

1.3.P33

\(A \in M_n(\mathbb{R})\) が非実固有値 \(\lambda\) を持つとする。

ここで \(\lambda = a + ib\)、\(a, b \in \mathbb{R}, b > 0\) とする。

また、\(\lambda\) に対応する固有ベクトルを \(x\) とし、\(x = u + i v\)、ただし \(u, v \in \mathbb{R}^n\) と書く。

(a) \(\bar{\lambda}, \bar{x}\) が \(A\) の固有値・固有ベクトルの組になることを説明せよ。

(b) \(x\) と \(\bar{x}\) が一次独立であること、したがって \(u\) と \(v\) も一次独立であることを説明せよ。

(c) 次を示せ：

Au = au - bv, \quad Av = bu + av

したがって、

A [u \ v] = [u \ v] B

ただし、

B = \begin{bmatrix} a & -b \\ b & a \end{bmatrix}

(d) \(S = [u \ v \ S_1] \in M_n(\mathbb{R})\) が正則であるとする。このとき、

S^{-1} [u \ v] = \begin{bmatrix} I_2 \\ 0 \end{bmatrix}

となることを説明せよ。

そして、

S^{-1} A S = S^{-1} [A u \ A v \ A S_1] = S^{-1} [u \ v] B + A S_1 = \begin{bmatrix} B & 0 \\ 0 & A_1 \end{bmatrix}

ただし、\(A_1 \in M_{n-2}(\mathbb{R})\)。

このことから、非実固有値 \(\lambda\) を持つ実正方行列は、\(\lambda\) の実部と虚部を表す左上 2×2 ブロックを持つ上三角ブロック行列と実相似であることが分かる。

(e) \(\lambda\) および \(\bar{\lambda}\) の \(A_1\) における固有値としての重複度は、それぞれ \(A\) における重複度より 1 小さいことを説明せよ。

ヒント

実行列 \(A\) に対して非実固有値が存在する場合、共役な固有値・固有ベクトルが必ず対になって現れる。

複素固有ベクトルを実部と虚部に分解し、その張る2次元実部分空間に着目することで、\(A\) の作用を 2×2 の実行列として表すことができる。

この構造を基底変換で取り出すことが本問の要点である。

解答例

(a) \(A\) は実行列であるから、固有値方程式 \(Ax=\lambda x\) の両辺を複素共役すると \(A\bar{x}=\bar{\lambda}\bar{x}\) が成り立つ。よって、\(\bar{\lambda}\) は \(A\) の固有値であり、その固有ベクトルは \(\bar{x}\) である。

(b) もし \(x\) と \(\bar{x}\) が一次従属であるとすると、ある複素数 \(c\) が存在して \(\bar{x}=cx\) と書ける。このとき両辺の共役を取ると \(x=\bar{c}\bar{x}=\bar{c}cx\) となり、\(\bar{c}c=1\) が従う。これより \(x\) は実数倍で表せることになり、\(x\) が非実であることに反する。したがって \(x\) と \(\bar{x}\) は一次独立である。また、\(x=u+iv\)、\(\bar{x}=u-iv\) であるから、\(u\) と \(v\) が一次従属であれば \(x,\bar{x}\) も一次従属となる。よって \(u\) と \(v\) も一次独立である。

(c) 固有値方程式 \(Ax=\lambda x\) に \(x=u+iv\)、\(\lambda=a+ib\) を代入すると

A(u+iv)=(a+ib)(u+iv)

両辺の実部と虚部を比較すると

Au=au-bv,\quad Av=bu+av

が得られる。したがって、行列表示を用いれば

A[u\ v]=[u\ v] \begin{bmatrix} a & -b\\ b & a \end{bmatrix}

となる。

(d) \(S=[u\ v\ S_1]\) が正則であるとは、\(\{u,v\}\) を含む基底が \(\mathbb{R}^n\) に与えられていることを意味する。このとき、基底変換により \(S^{-1}u=e_1,\ S^{-1}v=e_2\) となるように並べているので、

S^{-1}[u\ v]= \begin{bmatrix} I_2\\ 0 \end{bmatrix}

が成り立つ。これを用いると

S^{-1}AS = \begin{bmatrix} B & 0\\ 0 & A_1 \end{bmatrix}

となり、\(A\) は左上に \(\lambda\) の実部・虚部を表す 2×2 ブロックをもつ上三角ブロック行列と実相似である。

(e) 上の分解では、\(\lambda,\bar{\lambda}\) に対応する一次元複素固有空間（実では2次元）が取り除かれ、残りが \(A_1\) に対応する。したがって、\(\lambda\) および \(\bar{\lambda}\) の \(A_1\) における固有値としての重複度は、それぞれ \(A\) における重複度より 1 だけ小さくなる。