[行列解析1.3.P30]

1.3.問題30

1.3.P30

\(A \in M_n\) が対角化可能であり、\(A = S \Lambda S^{-1}\) とする。

ただし、\(\Lambda\) は (1.3.13) の形をもつとする。

\(f\) が複素数値関数で、その定義域が \(\sigma(A)\)（\(A\) の固有値の集合）を含むとき、次のように定義する：

f(A) = S f(\Lambda) S^{-1}, \quad f(\Lambda) = f(\mu_1) I_{n_1} \oplus \cdots \oplus f(\mu_d) I_{n_d}

ここで問う：\(f(A)\) は対角化に用いる相似変換の選び方（これは一意ではない）に依存するだろうか？

Theorem 1.3.27 を用いて、依存しないこと、すなわち

A = S \Lambda S^{-1} = T \Lambda T^{-1} \quad \Rightarrow \quad S f(\Lambda) S^{-1} = T f(\Lambda) T^{-1}

を示せ。

さらに、もし \(A\) が実固有値をもつならば、次が成り立つことを示せ：

\cos^2 A + \sin^2 A = I

[行列解析1.3]相似性

1.3　相似性私たちは、\( M_n \) に属する行列の相似変換が、複素数空間 \( \mathbb{C}^n \) 上での基底を変えた表現に対応することを知っています。したがって、相似を調べることは、ある線形変換に固有の性質や、その線形...

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2025.08.12