[行列解析1.3.P29]符号行列の行列式と偶奇性

1.3.P29

1.3.問題29

\(A = [a_{ij}] \in M_n\) とし、各 \(a_{ii} = 0\)（\(i=1,\dots,n\)）かつ、すべての \(i \neq j\) について \(a_{ij} \in \{-1,1\}\) と仮定する。

(a) \(\det A\) が整数となる理由を説明せよ。

(b) Cauchy の恒等式 (1.3.24) を用いて、もし \(A\) の任意の成分 \(-1\) を \(+1\) に変更したとしても、\(\det A\) の偶奇性（パリティ）は変わらない、すなわち、偶数なら偶数のまま、奇数なら奇数のままであることを示せ。

(c) \(\det A\) の偶奇性は \(\det(J_n - I)\) の偶奇性と一致することを示せ。ただし、これは \(n\) の偶奇性と反対である。

(d) 以上より、\(n\) が偶数のとき \(A\) は非特異（正則）であることを結論せよ。

行列式は成分に関する多項式であり、成分がすべて整数であれば行列式も整数となる。

(b) では Cauchy の恒等式を用いて、1成分の符号変更が行列式に与える影響を調べる。

(a) 行列式は各成分 \(a_{ij}\) に関する多項式として定義されており、その係数は整数である。ここで仮定より、すべての成分 \(a_{ij}\) は整数であるから、\(\det A\) は整数となる。

(b) Cauchy の恒等式 (1.3.24) により、行列式は任意の1つの成分 \(a_{ij}\) に関して一次式として書ける。すなわち、

\det A = a_{ij} C_{ij} + D

と表せる。ただし \(C_{ij}\) は余因子、\(D\) は \(a_{ij}\) を含まない整数である。ここで \(a_{ij}=-1\) を \(+1\) に変更すると、行列式の変化量は

(+1)C_{ij} - (-1)C_{ij} = 2C_{ij}

となり、これは必ず偶数である。したがって、\(\det A\) の偶奇性はこの操作によって変化しない。

(c) (b) の結果より、\(A\) の非対角成分をすべて \(+1\) に変更しても \(\det A\) の偶奇性は変わらない。このとき得られる行列は \(J_n - I\) である。よって、

\det A \equiv \det(J_n - I) \pmod{2}

が成り立つ。ここで \(\det(J_n - I) = (-1)^{n-1}(n-1)\) であるから、その偶奇性は \(n-1\) の偶奇性、すなわち \(n\) の偶奇性と反対である。

(d) \(n\) が偶数のとき、(c) より \(\det A\) は奇数である。特に \(\det A \neq 0\) であるから、\(A\) は非特異、すなわち正則である。