1.3.問題29
1.3.P29
\(A = [a_{ij}] \in M_n\) とし、各 \(a_{ii} = 0\)（\(i=1,\dots,n\)）かつ、すべての \(i \neq j\) について \(a_{ij} \in \{-1,1\}\) と仮定する。
(a) \(\det A\) が整数となる理由を説明せよ。
(b) Cauchy の恒等式 (1.3.24) を用いて、もし \(A\) の任意の成分 \(-1\) を \(+1\) に変更したとしても、\(\det A\) の偶奇性（パリティ）は変わらない、すなわち、偶数なら偶数のまま、奇数なら奇数のままであることを示せ。
(c) \(\det A\) の偶奇性は \(\det(J_n - I)\) の偶奇性と一致することを示せ。ただし、これは \(n\) の偶奇性と反対である。
(d) 以上より、\(n\) が偶数のとき \(A\) は非特異（正則）であることを結論せよ。
行列解析の総本山
[行列解析]総本山
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2025.08.05
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