1.3.P28
1.3.問題28
\(A \in M_{m,n}, B \in M_{n,m}\) が与えられているとする。
このとき次を証明せよ：
\det(I_m + AB) = \det(I_n + BA)
ヒント
行列 \(A \in M_{m,n}\)、\(B \in M_{n,m}\) に対し、積 \(AB\) は \(m \times m\) 行列、\(BA\) は \(n \times n\) 行列である。直接比較はできないが、ブロック行列を考えることで両者の行列式を結びつけることができる。特に、行列式が基本変形や積に対してどのように振る舞うかを利用する。
解答例
次のブロック行列を考える：
\begin{pmatrix}
I_m & A \\
-B & I_n
\end{pmatrix}
この行列に対して、左から
\begin{pmatrix}
I_m & 0 \\
B & I_n
\end{pmatrix}
を掛けると、積は
\begin{pmatrix}
I_m & A \\
0 & I_n + BA
\end{pmatrix}
となる。一方、右から
\begin{pmatrix}
I_m & -A \\
0 & I_n
\end{pmatrix}
を掛けると、
\begin{pmatrix}
I_m + AB & 0 \\
-B & I_n
\end{pmatrix}
を得る。これらはいずれも、もとのブロック行列に基本行列を掛けたものであり、掛けた行列の行列式はいずれも \(1\) である。したがって行列式は保存される。
ここで、ブロック三角行列の行列式は対角ブロックの行列式の積に等しいから、
\det(I_m)\det(I_n+BA)=\det(I_m+AB)\det(I_n)
が成り立つ。\( \det(I_m)=\det(I_n)=1 \) であるため、
\det(I_m + AB) = \det(I_n + BA)
が示された。
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