[行列解析1.3.P25]

1.3.問題25

1.3.P25

\(x, y \in \mathbb{C}^n\) が与えられ、\(y^*x \neq -1\) と仮定する。

(a) 次を確認せよ：

(I + xy^*)^{-1} = I - cxy^*, \quad c = (1 + y^*x)^{-1}

(b) \(\Lambda = \mathrm{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)\) とし、\(y^*x = 0\) と仮定する。このとき

A = (I + xy^*)\Lambda(I - xy^*) = \Lambda + xy^*\Lambda - \Lambda xy^* - (y^*\Lambda x)xy^*

の固有値は \(\lambda_1, \dots, \lambda_n\) であることを説明せよ。特に、\(x, y, \Lambda\) の成分が整数であれば、\(A\) の成分も整数になる。

この観察を用いて、固有値 \(1, 2, 7\) をもつ整数成分の \(3\times 3\) 行列の例を構成し、その固有値が確かに所望のものであることを確認せよ。

[行列解析1.3]相似性

1.3　相似性私たちは、\( M_n \) に属する行列の相似変換が、複素数空間 \( \mathbb{C}^n \) 上での基底を変えた表現に対応することを知っています。したがって、相似を調べることは、ある線形変換に固有の性質や、その線形...

am-gm.com

2025.08.12