1.3.問題21
1.3.P21
前問と同じ記法を用いる。次を定義する：
R_2(A) =
\begin{bmatrix}
A_1 & A_2 \\
A_2 & -A_1
\end{bmatrix}
\in M_{2n}(\mathbb{R}).
さらに、
V = \frac{1}{\sqrt{2}}
\begin{bmatrix}
- i I_n & I_n \\
- i I_n & - I_n
\end{bmatrix}
とし、
R_2(i I_n) =
\begin{bmatrix}
0 & I_n \\
I_n & 0
\end{bmatrix},
\quad
R_2(I_n) =
\begin{bmatrix}
I_n & 0 \\
0 & - I_n
\end{bmatrix}
とする。このとき次を示せ：
(a) \( V^{-1} = V^* \)、\( R_2(I_n)^{-1} = R_2(I_n) = R_2(I_n)^* \)、\( R_2(i I_n)^{-1} = R_2(i I_n) = R_2(i I_n)^* \)、かつ \( R_2(i I_n) = V^{-1} R_2(I_n) V \) である。
(b) \( A = B \) であるのは \( R_2(A) = R_2(B) \) のとき、またそのときに限る。また \( R_2(A + B) = R_2(A) + R_2(B) \) である。
(c) \( R_2(A) = V \begin{bmatrix} 0 & A \\ \overline{A} & 0 \end{bmatrix} V^{-1} \) である。
(d) \(\det R_2(A) = (-1)^n \lvert \det A \rvert^2\)（(0.8.5.13)参照）。
(e) \( R_2(A) \) が正則であるのは、\( A \) が正則であるとき、またそのときに限る。
(f) 特性多項式と固有値：\( p_{R_2(A)}(t) = \det(t^2 I - A \overline{A}) = p_{A \overline{A}}(t^2) \)（(0.8.5.13)参照）。したがって、\( \mu_1, \dots, \mu_n \) を \( A \overline{A} \) の固有値とすると、\( \pm \mu_1, \dots, \pm \mu_n \) が \( R_2(A) \) の固有値となる。さらに、\( p_{R_2(A)}(t) \) の係数は実数であるため、\( A \overline{A} \) の非実固有値は共役なペアとして現れる。
(g) \( R_2(AB) = R_2(A \cdot I_n \cdot B) = R_2(A) R_2(I_n) R_2(B) \) である。
(h) \( R_2(\overline{A}) = R_2(I_n) R_2(A) R_2(I_n) \) なので、\( R_2(\overline{A}) \) は \( R_2(A) \) と相似である。また \( R_2(AB \overline{C}) = R_2(A) R_2(B) R_2(C) \) である。
(i) \(-R_2(A) = R_2(-A) = R_2(i I_n \cdot A \cdot i I_n) = \big(R_2(i I_n) R_2(I_n)\big) \, R_2(A) \, \big(R_2(i I_n) R_2(I_n)\big)^{-1} \) なので、\( R_2(-A) \) は \( R_2(A) \) と相似である。
(j) \( R_2(A) R_2(B) = V \big( \overline{A}B \oplus A \overline{B} \big) V^{-1} \) である。
(k) \( A \) が正則なら、\( R_2(A)^{-1} = R_2(\overline{A}^{-1}) \) である。
(l) \( R_2(A)^2 = R_1(\overline{A}A) = R_2(A \overline{A}) R_2(I_n) \) である。
(m) \( S \) が正則なら、\( R_2(S A \overline{S}^{-1}) = \big(R_2(S) R_2(I_n)\big) \, R_2(A) \, \big(R_2(S) R_2(I_n)\big)^{-1} \) となり、したがって \( R_2(S A \overline{S}^{-1}) \) は \( R_2(A) \) と相似である。逆も成り立つことは (4.6.P19) 参照：もし \( R_2(A) \) が \( R_2(B) \) と相似なら、正則な \( S \) が存在して \( B = S A \overline{S}^{-1} \) となる。
(n) \( R_2(A^T) = R_2(A)^T \) なので、\( A \) が（複素）対称であるのは \( R_2(A) \) が（実）対称であるとき、またそのときに限る。
(o) \( A \) がユニタリであるのは \( R_2(A) \) が実直交行列であるとき、またそのときに限る。
ブロック行列 \( R_2(A) \) は、\( A \) の実表現の第二の例である。
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