[行列解析1.3.P20]複素行列の実表現とその性質

1.3.P20

1.3.問題20
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1.3.問題20

任意の \( A, B \in M_n \) を、\( A = A_1 + i A_2 \)、\( B = B_1 + i B_2 \) と表す。ただし \( A_1, A_2, B_1, B_2 \in M_n(\mathbb{R}) \) であるとする。次を定義する。

R_1(A) = \begin{pmatrix} A_1 & A_2 \\ -A_2 & A_1 \end{pmatrix} \in M_{2n}(\mathbb{R})

次を示せ。

(a) \( R_1(A + B) = R_1(A) + R_1(B) \)、\( R_1(AB) = R_1(A) R_1(B) \)、および \( R_1(I_n) = I_{2n} \) が成り立つ。

(b) \( A \) が正則ならば、\( R_1(A) \) も正則であり、\( R_1(A)^{-1} = R_1(A^{-1}) \)、さらに

R_1(A)^{-1} = \begin{pmatrix} X & Y \\ -Y & X \end{pmatrix}

は \( R_1(A) \) と同じブロック構造を持つ。

(c) \( S \) が正則ならば、\( R_1(SAS^{-1}) = R_1(S) R_1(A) R_1(S)^{-1} \) が成り立つ。

(d) \( A \) と \( B \) が相似ならば、\( R_1(A) \) と \( R_1(B) \) も相似である。

\( A \) の固有値を \(\lambda_1, \ldots, \lambda_n\) とし、

S = \begin{pmatrix} I_n & i I_n \\ 0 & I_n \end{pmatrix}, \quad U = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} I_n & i I_n \\ i I_n & I_n \end{pmatrix}

とする。このとき次を示せ。

(e) \( S^{-1} = \overline{S} \) および \( U^{-1} = \overline{U} = U^* \) が成り立つ。

(f) 次が成り立つ：

S^{-1} R_1(A) S = \begin{pmatrix} A & 0 \\ -A_2 & \overline{A} \end{pmatrix}, \quad U^{-1} R_1(A) U = \begin{pmatrix} A & 0 \\ 0 & \overline{A} \end{pmatrix}

(g) \( R_1(A) \) の固有値は \( A \oplus \overline{A} \) の固有値と同じであり、それは \(\lambda_1, \ldots, \lambda_n, \overline{\lambda_1}, \ldots, \overline{\lambda_n}\) である（より正確な記述は (1.3.P30) を参照）。

(h) \(\det R_1(A) = |\det A|^2 \ge 0\)、および \(\mathrm{rank}\, R_1(A) = 2 \, \mathrm{rank}\,A\) が成り立つ。

(i) \( R_1(A) \) が正則ならば、\( A \) も正則である。

(j) \( i I_n \) は \(-i I_n\) に相似ではないが、\( R_1(i I_n) \) は \( R_1(-i I_n) \) に相似である。したがって (d) の逆は一般には成り立たない。

(k) \( p_{R_1(A)}(t) = p_A(t) \, p_{\overline{A}}(t) \) が成り立つ。

(l) \( R_1(A^*) = R_1(A)^{\top} \) である。したがって、\( A \) がエルミート行列であることと、\( R_1(A) \) が（実）対称行列であることは同値であり、\( A \) がユニタリ行列であることと、\( R_1(A) \) が実直交行列であることも同値である。

(m) \( A \) が \( A^* \) と可換であることと、\( R_1(A) \) が \( R_1(A)^{\top} \) と可換であることは同値、すなわち複素行列 \( A \) が正規行列であることと、実行列 \( R_1(A) \) が正規行列であることは同値である（(2.5) 参照）。

(n) \( M_{2n}(\mathbb{R}) \) において、\( R_1(A) \) のブロック構造を持つ行列を複素型行列（matrix of complex type）という。

次を定義する：

S_{2n} = \begin{pmatrix} 0_n & I_n \\ - I_n & 0_n \end{pmatrix}

\( A \in M_{2n}(\mathbb{R}) \) が複素型行列であることと、\( S_{2n} A = A S_{2n} \) が成り立つことは同値である。

この恒等式から、実複素型行列の逆行列も複素型行列であり、複素型行列同士の積もまた複素型行列であることを導け。

ブロック行列 \( R_1(A) \) は \( A \) の実表現（real representation）の一例である。

複素表現（complex representation）への一般化、別名四元数型行列（matrix of quaternion type）については (4.4.P29) を参照。

ヒント

複素行列を実部と虚部に分解し、それを実ブロック行列 \( R_1(A) \) に対応させる。

和・積・逆行列・相似変換が保存されることは定義に基づく直接計算で確認できる。

また、行列 \( S \)、\( U \) による相似変換を用いることで、\( R_1(A) \) が \( A \oplus \overline{A} \) にブロック対角化されることに注目する。

解答例

(a) 定義より \( R_1(A+B)=\begin{pmatrix}A_1+B_1 & A_2+B_2 \\ -(A_2+B_2) & A_1+B_1\end{pmatrix} \) であり、これは \( R_1(A)+R_1(B) \) に等しい。

積についても直接計算により \( R_1(AB)=R_1(A)R_1(B) \) が成り立つ。

また \( R_1(I_n)=I_{2n} \) である。

(b) \( A \) が正則ならば (a) より \( R_1(A)R_1(A^{-1})=I_{2n} \) が成り立つので \( R_1(A) \) も正則であり、 \( R_1(A)^{-1}=R_1(A^{-1}) \) である。したがって

R_1(A)^{-1}= \begin{pmatrix} X & Y\\ - Y & X \end{pmatrix}

の形をもち、\( R_1(A) \) と同じブロック構造を保つ。

(c) (a) の積の性質より \( R_1(SAS^{-1})=R_1(S)R_1(A)R_1(S^{-1}) \) であり、 \( R_1(S^{-1})=R_1(S)^{-1} \) が成り立つので主張が従う。

(d) \( A \) と \( B \) が相似で \( A=SBS^{-1} \) と書けるとき、(c) より \( R_1(A)=R_1(S)R_1(B)R_1(S)^{-1} \) であるから、\( R_1(A) \) と \( R_1(B) \) も相似である。

(e) 定義から直接計算すると \( S^{-1}=\overline{S} \) および \( U^{-1}=\overline{U}=U^* \) が成り立つ。

(f) 行列積を計算すると

S^{-1}R_1(A)S= \begin{pmatrix} A & 0\\ - A_2 & \overline{A} \end{pmatrix}, \quad U^{-1}R_1(A)U= \begin{pmatrix} A & 0\\ 0 & \overline{A} \end{pmatrix}

が得られる。

(g) (f) より \( R_1(A) \) は \( A \oplus \overline{A} \) に相似である。したがって \( R_1(A) \) の固有値は \( \lambda_1,\ldots,\lambda_n,\overline{\lambda_1},\ldots,\overline{\lambda_n} \) である。

(h) (f) より \( \det R_1(A)=\det A \cdot \det \overline{A}=|\det A|^2\ge0 \) が成り立つ。また階数についても \( \mathrm{rank}\,R_1(A)=2\,\mathrm{rank}\,A \) である。

(i) (h) より \( R_1(A) \) が正則ならば \( \det A\neq0 \) であり、\( A \) も正則である。

(j) \( iI_n \) と \( -iI_n \) は固有値が異なるため相似ではない。一方、 \( R_1(iI_n) \) と \( R_1(-iI_n) \) は (g) より同じ固有値をもつので相似である。したがって (d) の逆は一般には成り立たない。

(k) (g) より特性多項式について \( p_{R_1(A)}(t)=p_A(t)p_{\overline{A}}(t) \) が成り立つ。

(l) 定義から \( R_1(A^*)=R_1(A)^{\top} \) が成り立つ。したがって \( A \) がエルミート行列であることと \( R_1(A) \) が実対称行列であることは同値であり、同様にユニタリ性と実直交性も同値である。

(m) \( A \) が \( A^* \) と可換であることと \( R_1(A) \) が \( R_1(A)^{\top} \) と可換であることは同値である。よって複素行列 \( A \) が正規行列であることと、実行列 \( R_1(A) \) が正規行列であることは同値である。

(n) \( R_1(A) \) と同じブロック構造をもつ実行列を複素型行列という。定義した \( S_{2n}=\begin{pmatrix}0_n&I_n\\-I_n&0_n\end{pmatrix} \) について、直接計算により \( S_{2n}A=AS_{2n} \) が複素型行列であることと同値である。この恒等式から、実複素型行列の逆行列も複素型行列であり、複素型行列同士の積もまた複素型行列であることが従う。