[行列解析1.3.P2]可換行列と多項式の可換性

1.3.P2

1.3.問題2

\( A, B \in M_n \) であり、かつ \( A \) と \( B \) が可換であるとき、\( A \) の任意の多項式が \( B \) の任意の多項式と可換であることを示せ。

多項式は行列の和と積の有限回の組合せで表される。

可換性が和と積に対して保存されることを用いるとよい。

\( A,B\in M_n \) が可換である、すなわち \( AB=BA \) であると仮定する。まず、任意の自然数 \( k \) に対して \( A^kB=BA^k \) が成り立つことを示す。

\( k=1 \) の場合は仮定そのものである。\( k \) で成り立つと仮定すると、 \( A^{k+1}B=A(A^kB)=A(BA^k)=(AB)A^k=(BA)A^k=B(A^{k+1}) \) となり、帰納法により主張が従う。

次に、\( A \) の多項式を \( p(A)=\sum_{k=0}^m \alpha_k A^k \) と書く。同様に \( B \) の多項式を \( q(B)=\sum_{\ell=0}^r \beta_\ell B^\ell \) と書く。

上の結果より、すべての \( k,\ell \) について \( A^kB^\ell=B^\ell A^k \) が成り立つ。したがって、