[行列解析1.3.P14]

1.3.問題14

1.3.P14

\( A \in M_n \) が対角化可能であるとする。

(a) \( A \) の階数が、その非零固有値の個数に等しいことを証明せよ。

(b) \( \mathrm{rank}\,A = \mathrm{rank}\,A^k \) が \( k = 1, 2, \ldots \) のすべてについて成り立つことを証明せよ。

(c) \( A \) が零因子行列（冪零行列）であることと、\( A = 0 \) であることが同値であることを証明せよ。

(d) \( \mathrm{tr}\,A = 0 \) ならば、\( \mathrm{rank}\,A \neq 1 \) であることを証明せよ。

(e) 上記 (a)〜(d) の結果を用いて、

B = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}

が対角化可能でないことを示せ。

[行列解析1.3]相似性

1.3　相似性私たちは、\( M_n \) に属する行列の相似変換が、複素数空間 \( \mathbb{C}^n \) 上での基底を変えた表現に対応することを知っています。したがって、相似を調べることは、ある線形変換に固有の性質や、その線形...

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2025.08.12