1.3.P11
1.3.問題11
次の 補題(1.3.19) の別証明について詳細を示せ。
補題 1.3.19.
\( F \subset M_n \) を可換な族とする。
このとき、\(\mathbb{C}^n\) において、すべての \( A \in F \) の固有ベクトルとなる零でないベクトルが存在する。
(a) \( A, B \in M_n \) が可換で、\( x \neq 0 \)、かつ \( Ax = \lambda x \) とする。
ベクトル列
x, \; Bx, \; B^{2}x, \; B^{3}x, \; \ldots
を考える。
\( k \) を、\( B^{k}x \) がその先行項の線形結合で表される最小の正の整数とする。
このとき、
S = \mathrm{span}\{x, \; Bx, \; B^{2}x, \; \ldots, \; B^{k-1}x \}
は \( B \)-不変部分空間であり、したがって \( B \) の固有ベクトルを含む。
また、
AB^{j}x = B^{j}Ax = B^{j}(\lambda x) = \lambda B^{j}x
が成り立つので、\( S \) の任意の非零ベクトルは \( A \) の固有ベクトルである。
よって \( A \) と \( B \) は共通の固有ベクトルをもつ。
(b) \( F = \{ A_1, A_2, \ldots, A_m \} \subset M_n \) が有限個の可換な行列族であるとする。
このとき、帰納法により共通の固有ベクトルをもつことを示せ。
すなわち、\( y \neq 0 \) が \( A_1, A_2, \ldots, A_{m-1} \) の共通固有ベクトルならば、次のベクトル列
y, \; A_m y, \; A_m^{2} y, \; A_m^{3} y, \; \ldots
を考える。
(c) \( \mathcal{F} \subset M_n \) が無限個の可換な行列族である場合、\( \mathcal{F} \) に含まれる \( n^2 \) を超える個数の行列は一次独立ではありえない。
そこで、\( \mathcal{F} \) から一次独立な最大集合を取り、その有限集合に対する共通固有ベクトルは、\( \mathcal{F} \) 全体に対しても共通固有ベクトルとなる理由を説明せよ。
ヒント
可換性 \( AB = BA \) により、一方の固有ベクトルから生成される部分空間が他方に関して不変になる点が本質である。
まず 2個の 行列の場合を示し、その後有限個の場合は帰納法で拡張する。無限個の場合は行列空間の次元に注意する。
解答例
(a) \( A,B \in M_n \) が可換であり、\( x \neq 0 \)、\( Ax = \lambda x \) を満たすとする。ベクトル列 \( x, Bx, B^2x, B^3x, \ldots \) を考える。有限次元性より、ある最小の正整数 \( k \) が存在して \( B^k x \) は \( x, Bx, \ldots, B^{k-1}x \) の線形結合で表される。
このとき \( S = \mathrm{span}\{x, Bx, B^2x, \ldots, B^{k-1}x\} \) とおくと、\( B(S) \subset S \) が成り立つ。したがって \( S \) は \( B \)-不変部分空間であり、線形代数の基本結果より \( S \) は \( B \) の固有ベクトルを含む。
さらに任意の \( j \geq 0 \) に対して \( AB^j x = B^j A x = B^j(\lambda x) = \lambda B^j x \) が成り立つ。よって \( S \) の任意の非零ベクトルは \( A \) の固有ベクトルでもある。したがって \( A \) と \( B \) は共通の固有ベクトルをもつ。
(b) \( F = \{A_1, A_2, \ldots, A_m\} \subset M_n \) を有限個の可換な行列族とする。\( m=1 \) の場合は自明であるとし、\( m-1 \) 個の場合に共通固有ベクトルが存在すると仮定する。
このとき、ある \( y \neq 0 \) が \( A_1 y = \lambda_1 y, \ldots, A_{m-1} y = \lambda_{m-1} y \) を満たすとする。列 \( y, A_m y, A_m^2 y, A_m^3 y, \ldots \) を考えると、(a) と同様の議論により、\( A_m \)-不変部分空間が得られ、その中に \( A_m \) の固有ベクトルが存在する。
可換性より、この部分空間の任意の非零ベクトルは \( A_1, \ldots, A_{m-1} \) の固有ベクトルでもある。したがって \( A_1, \ldots, A_m \) は共通の固有ベクトルをもつ。
(c) \( \mathcal{F} \subset M_n \) を無限個の可換な行列族とする。行列空間 \( M_n \) の次元は \( n^2 \) であるから、\( \mathcal{F} \) に含まれる \( n^2 \) を超える個数の行列は一次独立ではありえない。
そこで \( \mathcal{F} \) から一次独立な最大有限部分集合 \( \{A_1, \ldots, A_m\} \) を取る。この集合は可換であるから、(b) より共通固有ベクトル \( z \neq 0 \) をもつ。
任意の \( B \in \mathcal{F} \) は、この最大集合の線形結合で表される。よって \( Bz \) も再び \( z \) のスカラー倍となり、\( z \) は \( B \) の固有ベクトルである。したがって \( z \) は \( \mathcal{F} \) 全体に対する共通固有ベクトルである。
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