[行列解析1.3.P1]

1.3.問題1

1.3.P1

\( A, B \in M_n \) とする。\( A \) と \( B \) が対角化可能であり、かつ可換であると仮定する。

\( A \) の固有値を \( \lambda_1, \ldots, \lambda_n \)、\( B \) の固有値を \( \mu_1, \ldots, \mu_n \) とする。

(a) \( A + B \) の固有値が、ある順列 \( i_1, \ldots, i_n \) に対して \( \lambda_1 + \mu_{i_1}, \lambda_2 + \mu_{i_2}, \ldots, \lambda_n + \mu_{i_n} \) となることを示せ。

(b) \( B \) が冪零である場合、なぜ \( A \) と \( A + B \) が同じ固有値を持つのか説明せよ。

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