1.3.5練習問題
例 1.3.5
同じ固有値を持つことは、相似であるための必要条件ではありますが、十分条件ではありません。次の2つの行列を考えてみましょう。
\begin{bmatrix}
0 & 0 \\
1 & 0
\end{bmatrix}
\quad\text{と}\quad
\begin{bmatrix}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{bmatrix}
これらは同じ固有値を持っていますが、相似ではありません（なぜでしょうか？）。
練習問題：
\( A, B \in M_n \) が相似であり、\( q(t) \) をある多項式とします。このとき、\( q(A) \) と \( q(B) \) が相似であることを示しなさい。特に、任意の \( \alpha \in \mathbb{C} \) に対して、\( A + \alpha I \) と \( B + \alpha I \) が相似であることを示しなさい。
練習問題：
\( A, B, C, D \in M_n \) とします。もし \( A \sim B \) かつ \( C \sim D \) であり、さらにどちらも同じ相似行列 \( S \) によって相似であるならば、\( A + C \sim B + D \) および \( AC \sim BD \) であることを示しなさい。
練習問題：
\( A, S \in M_n \) とし、\( S \) は正則とします。このとき、任意の \( k = 1, \ldots, n \) に対して
S_k(S^{-1} A S) = S_k(A)
が成り立つことを示し、さらに任意の \( k = 1, \ldots, n \) に対して
E_k(S^{-1} A S) = E_k(A)
が成り立つ理由を説明しなさい。したがって、主小行列式の和（式 (1.2.10)）は、行列式やトレースだけでなく、すべて相似の不変量であることがわかります。
練習問題：
ランクが相似の不変量である理由を説明しなさい。すなわち、もし \( B \in M_n \) が \( A \in M_n \) に相似であるならば、
\operatorname{rank} B = \operatorname{rank} A
であることを示しなさい。（ヒント：式 (0.4.6) を参照）
対角行列は特に単純であり、非常に良い性質を持っているため、どの行列が対角行列に相似であるかを知りたいところです。
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