例 1.3.24. コーシーの行列式恒等式
正則な \( A \in M_n \) と、\( x, y \in \mathbb{C}^n \) が与えられているとする。このとき、
\begin{aligned}
\det(A + x y^{T})
&= (\det A) \, \det(I + A^{-1} x y^{T}) \\
&= (\det A) \prod_{i=1}^{n} \lambda_i(I + A^{-1} x y^{T}) \\
&= (\det A) \prod_{i=1}^{n} \left( 1 + \lambda_i(A^{-1} x y^{T}) \right) \\
&= (\det A) \left( 1 + y^{T} A^{-1} x \right) \quad \text{(式 (1.3.23) を使用)} \\
&= \det A + y^{T} \left( (\det A) A^{-1} \right) x \\
&= \det A + y^{T} (\operatorname{adj} A) \, x
\end{aligned}
したがって、任意の \( A \in M_n \) に対して成立するコーシーの恒等式
\det(A + x y^{T}) = \det A + y^{T} (\operatorname{adj} A) \, x
が連続性の議論により導かれる。
別の証明方法については、式 (0.8.5) を参照されたい。
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