定理 1.3.22.
\( A \in M_{m,n} \)、\( B \in M_{n,m} \) で \( m \leq n \) とする。このとき、\( BA \) の \( n \) 個の固有値は、\( AB \) の \( m \) 個の固有値と \( n - m \) 個の 0 から構成される。すなわち、
p_{BA}(t) = t^{\,n-m} \, p_{AB}(t)
が成り立つ。また、\( m = n \) かつ \( A \) または \( B \) の少なくとも一方が正則ならば、\( AB \) と \( BA \) は相似である。
証明.
次の計算を行うと、
\begin{pmatrix}
I_m & -A \\
0 & I_n
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
AB & 0 \\
B & 0_n
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
I_m & A \\
0 & I_n
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0_m & 0 \\
B & BA
\end{pmatrix}
となる。
そして前の演習結果から、次の 2 つの行列
C_1 =
\begin{pmatrix}
AB & 0 \\
B & 0_n
\end{pmatrix},
\quad
C_2 =
\begin{pmatrix}
0_m & 0 \\
B & BA
\end{pmatrix}
は相似である。
\( C_1 \) の固有値は \( AB \) の固有値と \( n \) 個の 0 であり、\( C_2 \) の固有値は \( BA \) の固有値と \( m \) 個の 0 である。
\( C_1 \) と \( C_2 \) の固有値は一致するので、定理の最初の主張が従う。
最後の主張は、\( m = n \) かつ \( A \) が正則であれば
AB = A (BA) A^{-1}
が成り立つという観察から得られる。
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