定理 1.3.22.
\( A \in M_{m,n} \)、\( B \in M_{n,m} \) で \( m \leq n \) とする。このとき、\( BA \) の \( n \) 個の固有値は、\( AB \) の \( m \) 個の固有値と \( n - m \) 個の 0 からなる。すなわち、
p_{BA}(t) = t^{\,n-m} \, p_{AB}(t)
さらに \( m = n \) で、かつ \( A \) または \( B \) の少なくとも一方が正則であれば、\( AB \) と \( BA \) は相似である。
証明. 計算すると、次が成り立つ：
\begin{pmatrix}
I_m & -A \\
0 & I_n
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
AB & 0 \\
B & 0_n
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
I_m & A \\
0 & I_n
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0_m & 0 \\
B & BA
\end{pmatrix}
前の演習問題より、次の 2 つの行列
C_1 =
\begin{pmatrix}
AB & 0 \\
B & 0_n
\end{pmatrix},
\quad
C_2 =
\begin{pmatrix}
0_m & 0 \\
B & BA
\end{pmatrix}
は相似である。\( C_1 \) の固有値は、\( AB \) の固有値と \( n \) 個の 0 からなり、\( C_2 \) の固有値は、\( BA \) の固有値と \( m \) 個の 0 からなる。これらの固有値が一致することから、定理の最初の主張が従う。最後の主張は、\( m = n \) かつ \( A \) が正則であれば、
AB = A \,(BA)\, A^{-1}
となることから従う。
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