定理 1.3.12 の結果を、任意個数の可換な対角化可能行列に拡張した形で得たい。
そのための中心的な概念は、不変部分空間と、それに対応するブロック三角行列である。
定義 1.3.16.
\( \mathcal{F} \subseteq M_n \) が族（family）であるとは、有限個または無限個の行列からなる空でない集合であることをいう。
可換な族（commuting family）とは、任意の2つの行列が可換である族のことである。
与えられた \( A \in M_n \) に対し、部分空間 \( W \subseteq \mathbb{C}^n \) がA-不変（A-invariant）であるとは、任意の \( w \in W \) に対して \( Aw \in W \) が成り立つことをいう。
部分空間 \( W \subseteq \mathbb{C}^n \) が自明（trivial）であるとは、\( W = \{0\} \) または \( W = \mathbb{C}^n \) の場合をいう。
それ以外の場合、\( W \) は非自明（nontrivial）である。
与えられた族 \( \mathcal{F} \subseteq M_n \) に対し、部分空間 \( W \subseteq \mathbb{C}^n \) が\(\mathcal{F}\)-不変（F-invariant）であるとは、各 \( A \in \mathcal{F} \) について \( W \) が A-不変であることをいう。
族 \( \mathcal{F} \subseteq M_n \) が可約（reducible）であるとは、\( \mathbb{C}^n \) の非自明な部分空間で \(\mathcal{F}\)-不変なものが存在する場合をいう。
それ以外の場合、\( \mathcal{F} \) は既約（irreducible）である。
演習. \( A \in M_n \) に対して、1次元の A-不変部分空間の任意の非零元が A の固有ベクトルであることを示せ。
演習. \( n \geq 2 \) かつ \( S \in M_n \) が正則とする。行列を \( S = [S_1 \ S_2] \) と分割し、ここで \( S_1 \in M_{n,k},\ S_2 \in M_{n, n-k} \) であり、\( 1 < k < n \) とする。
このとき次が成り立つことを説明せよ。
S^{-1} S_1 = [e_1 \ \dots \ e_k] =
\begin{pmatrix}
I_k \\
0
\end{pmatrix},
\quad
S^{-1} S_2 = [e_{k+1} \ \dots \ e_n] =
\begin{pmatrix}
0 \\
I_{n-k}
\end{pmatrix}
不変部分空間とブロック三角行列は、同じ価値あるコインの表裏のようなものである。
前者は線形代数的な側面を、後者は行列解析的な側面を表す。
\( n \geq 2 \) の \( A \in M_n \) があり、\( 1 < k < n \) を満たす \( k \) 次元部分空間 \( W \subseteq \mathbb{C}^n \) を考える。
\( W \) の基底 \( s_1, \dots, s_k \) を選び、\( S_1 = [s_1 \ \dots \ s_k] \in M_{n,k} \) とする。さらに \( s_{k+1}, \dots, s_n \) を選んで \( s_1, \dots, s_n \) が \( \mathbb{C}^n \) の基底となるようにし、\( S_2 = [s_{k+1} \ \dots \ s_n] \in M_{n, n-k} \) とおき、\( S = [S_1 \ S_2] \) とする。
このとき、S の列ベクトルは一次独立なので S は正則である。
もし \( W \) が A-不変ならば、各 \( j = 1, \dots, k \) に対して \( As_j \in W \) である。したがって各 \( As_j \) は \( s_1, \dots, s_k \) の一次結合であり、すなわちある \( B \in M_k \) が存在して \( AS_1 = S_1 B \) が成り立つ。
\( AS_1 = S_1 B \) ならば、
AS = [AS_1 \ AS_2] = [S_1 B \ AS_2]
となり、よって
\begin{align}
S^{-1}AS
&=
\begin{bmatrix}
S^{-1}S_1B & S^{-1}AS_2
\end{bmatrix} \notag \\
&=
\begin{bmatrix}
\begin{bmatrix}
I_k \\ 0
\end{bmatrix}B & S^{-1}AS_2
\end{bmatrix} \notag \\
&=
\begin{bmatrix}
B & C \\
0 & D
\end{bmatrix}, \notag \\
& B \in M_k, \ 1 \le k \le n-1 \notag
\end{align}
結論として、\( k \) 次元の不変部分空間をもつ行列 \( A \) は、(1.3.17) の形のブロック三角行列と相似である。
さらに次のことも言える。\( B \in M_k \) は少なくとも1つの固有値を持つので、\( B \xi = \lambda \xi \) を満たすスカラー \( \lambda \) と非零ベクトル \( \xi \in \mathbb{C}^k \) が存在する。
このとき \( 0 \ne S_1 \xi \in W \) であり、
A(S_1 \xi) = (AS_1)\xi = S_1 B \xi = \lambda (S_1 \xi)
が成り立つので、\( A \) は \( W \) の中に固有ベクトルを持つ。
逆に、\( S = [S_1 \ S_2] \in M_n \) が正則で、\( S_1 \in M_{n,k} \) かつ \( S^{-1} A S \) が (1.3.17) の形のブロック三角行列ならば、
AS_1 = AS
\begin{bmatrix}
I_k \\
0
\end{bmatrix}
= S
\begin{bmatrix}
B & C \\
0 & D
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
I_k \\
0
\end{bmatrix}
= [S_1 \ S_2]
\begin{bmatrix}
B \\
0
\end{bmatrix}
= S_1 B
となるので、\( S_1 \) の列ベクトルの張る \( k \) 次元部分空間は A-不変である。
以上の議論を次の観察としてまとめる。
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